Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, равенство Остроградского - Гаусса принимает вид:
+ (49)
у. s
Это первая формула Грина.
Применяя равенство (47) к векторной функции а = = \|)-gradcp, получаем:
Vcp+ = dS' ^ У S
Вычитая последнее из (49), приходим ко второй формуле Грина:
^(ср.Дф-ф.ДфМГ = ф (51)
у s
§ 10. Классификация векторных полей
-> ->
Как мы знаем, любое векторное поле а (г) аналитически характеризуется
двумя "производными": скалярной -> ->
div а и векторной rot а. Простейшими классами векторных полей являются
такие, у которых в каждой точке одна из производных равна нулю.
1. Поле называется безвихревым, если
rota = 0. (52)
Несложно убедиться, что безвихревое поле является
полем потенциальным, т. е. при выполнении уело-
->
вия (52) всегда можно подобрать такое скалярное поле ф (г), для которого
наше векторное поле является полем градиента этого скалярного поля:
->
a = grаdф. (52)
Основное свойство потенциального поля состоит в равенстве нулю циркуляции
вектора по произвольной замкнутой кривой:
T - =0. (52')
L
Необходимость этого условия очевидна. Действительно, 66
в потенциальном поле а, - --, поэтому
fa, dl = ^dl = fdy = 0.
L
Нетрудно доказать и достаточность этого условия.
Из основного свойства следует, что в потенциальных
полях криволинейный интеграл от вектора a = gradcp от точки М (хи уг, гг)
до точки N (х2, у2, га) зависит не от вида кривой интегрирования, а
только от значения потенциала ф в начальной и конечной точках:
N 2
Примером потенциального векторного поля является поле консервативных сил
(гравитационное поле, электростатическое поле и т. п.), в котором работа
этих сил при
перемещении частиц из одной точки в другую А =
не зависит от выбора траектории.
Характерным для потенциальных полей является наличие эквипотенциальных
поверхностей, между которыми векторы поля направлены в сторону
возрастания потенциала.
Итак, всякое потенциальное поле бесциркуля-ц и он но. С другой стороны,
по теореме Стокса
<j) a, dl = J $ го*п а' dS.
Поэтому тождественное обращение в нуль циркуляции вектора приводит к
выполнению условия безвихревости
rota = 0.
Следовательно, условия потенциальности (а = grad ф), безвихревости
(rota=0) и бесциркуляционности
a,dl = 0] векторного поля полностью эквивалентны.
Возможность представления векторной функции в виде градиента скалярной
функции имеет большое значение в математической физике, ибо изучение
векторного поля
а (г) в этом случае сводится к исследованию намного
м
2
67
более простого скалярного поля ф (г). При этом скаляр-->
пая функция ф (г) называется скалярным потенциалом
данного векторного поля а (г).
-> ->¦
2. Векторное поле а (г), у которого
div а =з 0, (54)
является полем без источников и называется соленоидалъ-ным или трубчатым.
Согласно формуле (43) дивергенция от ротора произвольного вектора всегда
равна нулю:
div rot 6 = 0. (43)
-> -V-
Сопоставляя (43) и (54), мы можем векторное поле а (г)
представить как ротор некоторого другого векторного
-> -> поля b (г):
-> ->
а = rot ft. (55)
Иными словами, соленоидальное поле является вихревым.
-> ->
Основным свойством соленоидального поля а (г) является
->¦
равенство нулю потока вектора а через произвольную
замкнутую поверхность в пространстве поля:
ап dS = 0. (56)
s
Это непосредственно следует из формулы Гаусса-Остроградского (28). В
частности, если в качестве S выбрать поверхность некоторой части
векторной трубки, то мы придем к установленному еще в § 6 выводу о
постоянстве в вихревом поле напряжения вдоль векторной трубки.
^Напряжением I векторной трубки в данном сечении S
называют поток вектора а через это сечение: / = J J a"dS.^j
Из основного свойства соленоидальных полей вытекает, что векторные линии
у них не имеют ни начала, ни конца, они либо замкнуты, либо уходят в
бесконечность.
-> -> -> ->
3. Поле а (г), у которого и diva = 0, и rota===0 не имеют ни
источников, ни вихрей. Такое поле одновре-
68
менно и потенциально и соленоидально (вихревое и безвихревое).
Рассмотрим, какими свойствами обладает такое век-
-+ * -> ->
торное поле. Поскольку rot а = 0, то а (г) можно представить в виде
градиента скалярного поля:
-"•
a = grad(p.
-у
Так как diva = 0, то, взяв дивергенцию от предыдущего равенства, получим,
что потенциал <р должен удовлетворять условию
divgrad<p=0,
или
Д<р=0. (57)
-у -у
Итак, векторное поле а (г), у которого обе производные
тождественно равны нулю (diva = 0, rota = 0), всегда можно представить в
виде градиента скалярной функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа:
д2Ф д2ср д2ср "
дх2 ду2 дг1
4. Важность изучения потенциальных и вихревых
полей становится особенно ясной, если принять во вни-
мание теорему Гельмгольца.
Всякое однозначное, непрерывное и гладкое векторное
поле а (г) можно представить в виде суммы потенциального и вихревого
полей:
a (г) = grad ф (г)-f-rot b(r). " (58)
При этом векторный потенциал b всегда можно выбрать так, чтобы divfr=0. А
поскольку divrotfr = 0 и divgrad ф = Дф, то источники исходного поля diva
