Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
ДУ
Поскольку это соотношение справедливо для произвольного объема AV, то
должно быть равным нулю само подынтегральное выражение:
лт ->• ср ^ + div<7- Q =0.
Подставляя сюда значение q из (9), получаем:
ср^-div (k grad T) = Q. (14)
Так как по предположению тело однородно, то коэффициент теплопроводности
k является величиной постоян?
92
ной. Поэтому
div (k grad T) = k div grad T.
В 4.1 было показано, что div grad T = AT. Учитывая это,
приходим к следующему дифференциальному уравнению
распространения тепла:
cp^ = k-AT + Q(x, у, г, t). (14')
Рассмотрим частные случаи этого уравнения.
1. Распространение тепла без тепловыделения. Если внутри рассматриваемой
области нет источников тепла, т. е. Q = 0, то уравнение (14') принимает
более простой вид:
% = а-АТ, (II)
k
где а - так называемый коэффициент температуре-
ср
проводности.
2. Установившийся поток тепла. Для стационарного процесса теплообмена, т.
е. когда температура в каждой
(дТ Л\
точке тела не меняется со временем ( ^у = о J , уравнение
теплопроводности приобретает форму так называемого уравнения Пуассонэ:
А 7' = - Р, (II')
где р = у.
3. Установившийся поток тепла без тепловыделения.
дТ
В этом случае и Q= 0, и ^- = 0, поэтому распределение температуры в теле
подчиняется уравнению Лапласа:
АТ = 0. (II")
Уравнение нестационарной теплопроводности
дТ .гт,
^- = а-АТ
dt
содержит производные второго порядка по координатам х, у, z и производную
первого порядка по времени t. Поэтому для однозначности его решения
должны быть заданы одно начальное условие и два граничных условия для
каждой координаты.
Стационарные уравнения Пуассона и Лапласа не содержат переменной t, так
что в этом случае необходимы только граничные условия.
93
Начальное условие обычно состоит в том, что температура всех точек тела в
момент t=0 является определенной функцией координат:
Т Ь=о = / (х, у, z). (15)
Что касается граничных, или краевых, условий, то при решении физических
задач они бывают трех видов.
В случае краевых условий первого рода задается температура на поверхности
S тела в любой момент времени:
Т\s =Ф(х, у, z). (16)
(В общем случае функция ф может зависеть и от t, но обычно температура на
поверхности постоянна.)
При краевых условиях второго рода температура на поверхности неизвестна,
но указывается тепловой поток q, вытекающий или втекающий через
поверхность, как функция координат точек поверхности:
= У. 2),
где п - единичный вектор нормали к поверхности.
dT
Так как согласно (9) qn=-то граничные условия имеют дифференциальный
характер:
^ = У, 2). (16')
Наконец, краевые условия третьего рода являются обобщением условий
первого и второго рода:
d-T-hT\s = F(x, у, г). (16")
Постоянная h называется коэффициентом внешней теплопроводности. Равенство
(16") применяется в случае процесса теплоотдачи (охлаждения), т. е.
переноса тепла от тела к окружающей среде. Согласно эмпирическому закону
Ньютона количество тепла, отдаваемого элементом поверхности dS с
температурой 7\ за время dt в окружающую среду с температурой Т0, прямо
пропорционально разности Тг-Т0 и величинам dS и dt:
dQ = a(Tt-Te)dSdt.
Множитель пропорциональности а называется коэффициентом теплоотдачи.
94
Таким образом, тепловой потоку, вытекающий из тела наружу, равен:
q = a(T1-T0). (17)
С другой стороны, такой же тепловой поток должен подводиться изнутри
путем теплопроводности. Поэтому согласно (9)
Приравнивая правые части (17) и (17'), получаем:
Обозначив отношение а/k через h и учитывая, что Тг = Т |5, приведем
последнее равенство к виду:
Температура среды Т0 и коэффициент h в разных точках поверхности раздела
сред, вообще говоря, различны. Если известна их зависимость от координат,
то произведение /iT0 представляет собой определенную функцию координат F
(х, у, г), и мы приходим к граничным условиям третьего рода (16").
§ 3. Основное уравнение электростатики
Основным физическим законом электростатического поля является теорема
Гаусса.
Поток напряженности Е через произвольную замкнутую поверхность равен (в
абсолютной системе единиц) умноженной на 4л алгебраической сумме зарядов,
находящихся внутри этой поверхности:
В общем случае электрические заряды распределены по объему с некоторой
плотностью р = р (х, у, г). Поэтому вместо суммы в правой части (18)
появляется интеграл:
В обеих частях этого равенства интегрирование производится по разным
переменным. Поэтому, применив к (19)
(17')
§ Ен ds = 4зт 2 е,-.
5 t
(18)
(19)
S5
теорему Остроградского - Гаусса:
EndS = J div Е-dV, s v
получаем:
J(div?- 4л p )dV. (20)
v
Так как объем V в (20) является произвольным, то равно нулю само
подынтегральное выражение и мы переходим к дифференциальной форме теоремы
Гаусса:
div Е = 4лр, (21)
представляющей собой в теории электричества третье уравнение Максвелла.
Из электродинамики известно, что электростатическое поле потенциально:
Е = -grad ф, (22)
где ф-электрический потенциал. Учитывая это, можно уравнение (22)
