Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
записать в таком виде:
div grad ф = Дф = -4лр.
Это - основное дифференциальное уравнение электростатики- уравнение
Пуассона. В системе единиц СИ это уравнение записывается проще:
Дф = -р.
С его помощью можно установить вид скалярного поля потенциала ф, если
известно распределение зарядов в пространстве р (х, у, г).
Если же в некоторой области зарядов нет (р = 0), то потенциал ц>(х, у, г)
удовлетворяет уравнению Лапласа:
Дф = 0.
§ 4. Уравнение переменного электромагнитного поля в потенциалах
Как известно из теории электричества (электродинамики), заряды и токи
создают в пространстве электриче-
-> ->
ское и магнитное поля Е и Я, между которыми существует сложная
функциональная связь. Важнейшей задачей электродинамики является
определение вида этих функций
Е(х, у, z, t) и Н (х, у, z, t) по заданному распределению неподвижных и
движущихся зарядов.
96
Как впервые показал Максвелл, основные опытные законы, описывающие
свойства электромагнитного поля, носят дифференциальный характер, т. е.
позволяют непосредственно определить вид только производных от
векторных полей Е и Н. Но так как каждое векторное поле имеет две
пространственные производные (скалярную-дивергенцию и векторную-ротор),
то для полного описания электромагнитного поля должны быть заданы четыре
дифференциальных уравнения, которые называют уравнениями Максвелла.
В вакууме они имеют следующий вид (в абсолютной системе единиц):
а) div? = 4np, в) div Н = О,
л\ 4. z? * d# \ , Л 4я ¦? . 1 дЕ
б) rot Е =------57, Г) rot Н =--- Н----57 •
. ' с dt ' ' с ' 1 с dt
Здесь р - плотность зарядов, / - плотность токов, с-скорость овета.
Разберем вкратце физический смысл каждого уравнения. Уравнение (a) div?'
= 4np означает, что источниками электрического поля являются заряды,
причем мощность источника равна 4лр.
Уравнение (в) div Я = 0 означает, что магнитное поле не имеет источников,
т. е. является вихревым векторным
полем. Уравнение (б) rot Е = -^Ж пРеДставляет собой закон
электромагнитной индукции в дифференциальной
форме. Наконец, уравнение (г) rot Н = - j + - обобщает закон Био-Савара,
отличаясь от него членом ,
характеризующим так называемый ток смещения.
Последние два уравнения показывают, что причинами возникновения и
изменения электромагнитного поля являются не только наличие электрических
зарядов, но и движение этих зарядов, а также изменение со временем самого
поля. Благодаря этому возможно существование магнитного поля, хотя в
природе нет магнитных зарядов, а также существование свободного
электромагнитного поля в пространстве, лишенном как зарядов, так и токов.
97
Интегрируя уравнения Максвелла, можно в принципе
определить электрическое и магнитное поля Е (г, t) и -> ->
И (г, t). Но как это можно сделать практически? Ведь это сложная система
взаимосвязанных векторных дифференциальных уравнений в частных
производных.
Оказывается, что задача значительно упрощается введением двух
вспомогательных величин-скалярного электрического потенциала (р и
векторного магнитного потенциала А, определяемых равенствами:
Накладывая еще дополнительное условие Лоренца
и подставляя (23), (24) и (25) в уравнения Максвелла, получаем два
аналогичных дифференциальных уравнения для каждого из потенциалов:
Рассмотрим уравнение (26), которое еще можно записать так:
где ?-оператор Даламбера. Это уравнение называют уравнением Даламбера.
Заметим, что в частном случае стационарного (неизменного во времени) поля
даламбериан превращается в обычный лапласиан Д и уравнение Даламбера
переходит в известное нам уже уравнение Пуассона: Дф = - 4пр.
В другом частном случае, когда в переменном электрическом поле
отсутствуют заряды (р = 0), уравнение Даламбера сводится к трехмерному
волновому уравне-. 1 д2ш
нию Дф , описывающему волны, распространяю-
щиеся со скоростью с.
Н - rot А.
(23)
, 1 дА
grad(p~тж-
(24)
(25)
(26)
(27)
? ф = - 4пр,
(III)
98
Наконец, если поле со временем не меняется и в нем отсутствуют заряды,
уравнение Даламбера вырождается в уравнение Лапласа Дф = 0.
¦§ 5. Уравнение Шредингера
Изучение физических свойств молекул, атомов и составляющих их частиц
привело в начале XX века исследователей к убеждению, что в микромире
существуют свои законы, качественно отличные от законов макромира.
Постепенно сущность этих законов была раскрыта и к концу двадцатых годов
в атомной физике сложилась стройная логическая система - квантовая
механика.
Основное утверждение квантовой механики заключается в том, что поведение
любой микрочастицы (скажем, электрона) описывается некоторой (вообще
говоря, комплексной) функцией координат и времени ф (х, у, z, i), причем,
квадрат модуля этой функции |ф|2 характеризует плотность вероятности, т.
е. вероятность нахождения частицы в единице объема пространства.
В стационарных случаях, т. е. когда функция ф, которую обычно называют
волновой функцией, не зависит от времени, ее можно определить, решая так
называемое уравнение Шредингера:
