Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
можно характеризовать четырехмерным вектором Ф, называемым
электромагнитным потенциалом, компонентами которого являются величина
t'cp (где ср - скалярный электрический потенциал, a i = ]/ - 1) и
проекции Ах, Ау, Аг на координатные оси
векторного магнитного потенциала А.
Потенциал электромагнитного поля образует в четырехмерном пространстве-
времени векторное поле:
Ф(г) = Ф(4я, Ау, Az, t(p).
2. Как известно из теории электричества, потенциалы ->
Ф и А являются косвенными характеристиками электрического и магнитного
полей. Непосредственно эти поля
-> ->
определяются векторами напряженностей ? и Я. В четырехмерном пространстве
напряженность электромагнитного поля представляет собой антисимметричный
тензор:
(65)
действительные компоненты которого характеризуют- магнитное поле Я, а
мнимые-электрическое поле Е. Между
/Ч
напряженностью F и потенциалом Ф электромагнитного поля существует
простая четырехмерная дифференциальная связь
? = rot(r),
0 Hz -Ну -iE
~HZ 0 нх -iE i
Ну -нх 0 -iE
iEx iEy 0
73
являющаяся обобщением известного из электродинамики
соотношения Н = rot А. Таким образом, математически электромагнитное поле
в четырехмерном пространстве-
времени образует тензорное поле F (г).
3. В классической механике количество движения
материи может быть охарактеризовано двумя различными
-^
величинами - вектором импульса Р (с компонентами mvx, mVy, mvz) или
скаляром Е = Щ-, выражающим собой кинетическую энергию тела.
Согласно теории относительности обе эти величины
объединяются в единый четырехмерный вектор импульса G с компонентами
^mvx, mvy, mvz, у E^j . Точно так же четырехмерным вектором является в
механике теории отно-
-
сительности сила К.
Поэтому и основной закон динамики - второй закон Ньютона-записывается в
четырехмерной форме так:
dG _ -х dx *'
где т-так называемое собственное время, измеряемое по часам движущегося
тела.
Глава III
ТЕОРИЯ ПОЛЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ
В предыдущих главах мы пользовались только прямоугольными декартовыми
координатами. Однако при решении многих задач математической физики
удобно применять криволинейные координаты.
§ 1. Криволинейные координаты
Если декартовы координаты х, у, z являются взаимно однозначными функциями
других трех переменных qlt qit q3
x = x{qv q2, q3), y = y(qlt qt, qs), z = z(qlt qt, q"), (1)
74
то переменные величины qlt qt, qз называются криволинейными координатами.
Если, сохраняя одну из величин постоянной, остальным двум координатам
будем сообщать всевозможные значения, то получим поверхность, называемую
координатной поверхностью. Ясно, что для каждой системы координат
существуют три семейства координатных поверхностей: <7, = const, q2 =
= const, q3 = const.
Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными
линиями-, их именуют той координатой, которая вдоль них меняется. За
положительное направление координатной линии принято считать то, вдоль
которого соответствующая переменная увеличивается.
Очевидно, что через каждую точку пространства проходят по три взаимно
пересекающиеся координатные
поверхности и по три координатные линии (рис. 22). Рассмотрим наиболее
часто встречающиеся в математической физике криволинейные системы
координат.
Цилиндрическая система координат. Криволинейные координаты р, ф, г (рис.
23) связаны с декартовыми координатами соотношениями:
х = р cos ф, = р sin ф, г = г. (2)
Цилиндрические координаты изменяются в пределах: 0^р<оо, 0<1ф<12я, -оо
<2< + оо.
Координатными поверхностями р = const являются коаксиальные цилиндры с
осью Z. Семейство поверхностей Ф = const - это полуплоскости,
ограниченные осью Z.
75
Семейство поверхностей z = const- это плоскости, перпендикулярные оси Z.
Координатные линии р представляют собой полупрямые, начинающиеся на оси
Z; семейство линий Ф-это окружности в плоскостях z - const с центром на
оси Z; линии z-это прямые, параллельные 0Z.
Частным случаем цилиндрической системы является (двумерная) полярная
система координат (р, Ф).
Сферическая система. Криволинейные координаты г, 0, ф (рис. 24) связаны с
декартовыми формулами:
x = r sin 0 cos ф, = r sin 0 sin ф, z = r cos0 (3)
и изменяются в пределах 0 < оо, О^0^я, 0^ф^2л.
Координатными поверхностями г = const являются концентрические сферы;
поверхностями 0- const - конусы С осью Z; поверхностями ф = const -
полуплоскости, ограниченные осью Z.
Координатные линии г - это радиусы, линии 0 - меридианы, линии ф-
параллели.
Если криволинейная система координат обладает тем свойством, что в любой
точке пространства проходящие через нее три координатные линии взаимно
перпендикулярны, то система координат называется ортогональной.
Легко убедиться, что и цилиндрическая и сферическая системы принадлежат к
классу ортогональных. Ясно, что различные векторные и тензорные
соотношения имеют в ортогональных системах координат более простой вид,
чем в произвольных (неортогональных) системах криволинейных координат.
