Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если объемы жидкости N2 и iVj, вытекающие и втекающие из F через и S2,
одинаковы, то источников (положительных или отрицательных) в F не
существует. Когда же ЫгфЫ2, в слое F существуют либо источники (при N2 >
Nj), либо стоки (при N2 < NJ.
Заметим теперь, что площади и S2 ограничивающих слой F цилиндрических
поверхностей пропорциональны
радиусу цилиндра г. Поэтому только у поля Ь(г), для
которого модуль скорости 161 ¦-¦ -, объем протекающей
\
Рис. 15
через цилиндрическую = |6|-S = const.
поверхность жидкости N =
54
У поля же а (г) модуль ско-->
рости равен единице (|aj -1) и поток N = S растет с удалением от центра
(через большую поверхность S2 вытекает воды больше, чем втекает через SJ.
Это возможно только в том случае, если в полу бассейна имеются источники,
из которых вода поступает в бассейн.
1
/5*
Наоборот, в случае поля
с (г) скорость | с | с расстоянием
убывает пропорционально , в
то время как площадь растет пропорционально /-.Поэтому по-
ток жидкости N = | с | • S в целом
Рис. 16
уменьшается. Иными словами,
N2<N1. Это возможно, если часть воды уходит из бассейна через пол.
Перейдем теперь к выяснению аналитического смысла
дивергенции как скалярной производной векторной функ-
-^ ->
ции а (г). Для этого прежде всего введем понятие векторной трубки.
Векторной линией называется кривая, касательная к которой в каждой точке
поля совпадает по направлению с переменным вектором в этой точке.
Цилиндрическая криволинейная поверхность, образующие которой являются
векторными линиями, называется векторной трубкой (рис. 17).
Пусть теперь рассматриваемое векторное поле а (г)
таково, что во всех его точках diva = 0. Такое поле принято называть
вихревым или соленоидальным.
Рис. 17
55
Легко убедиться с помощью формулы Гаусса - Остро-
градского, что в таком поле поток вектора а через произвольное поперечное
сечение трубки есть величина постоянная:
^andS= andS = const.
s2 st
Если же поле не является вихревым (diva^O), но в ок-
рестности некоторой точки diva = 0, тогда для двух близких сечений ASX и
AS2 тонкой трубки, охватывающей эту точку, имеем (с точностью до малых
высшего порядка):
a'2>-AS2 = a'1>-AS1.
Это приближенное равенство тем точнее, чем тоньше векторная трубка и
короче расстояние между рассматриваемыми сечениями. Таким образом, если в
некоторой
точке поля diva = 0, то поток вектора через соседние сечения тонкой
трубки неизменен: dN-andS - const.
Вблизи же тех точек, где divaф0, по?ок dN вдоль
узкой векторной трубки увеличивается (при diva >0)
или уменьшается (при diva<0).
Другими словами, если сечение векторной трубки
постоянно, то численное значение diva в данной точке М
поля характеризует быстроту изменения длины вектора a вдоль векторной
линии, проходящей через М.
§ 7. Физический и аналитический смысл ротора векторного поля
Прежде всего заметим, что определяемый формулой (25)
вектор rot а можно еще представить в виде символического определителя
третьего порядка:
rota =
i / k
д д д
дх ду дг
а* йУ аг
(30)
Для выяснения физического смысла ротора рассмотрим сперва плоские
векторные поля v(x,y), где v-линейная
S6
скорость частиц сплошной среды. В этом случае vz и производные по z
обращаются в нуль и мы получаем:
i / k
rot у = А А о
дх ду
дау да дх di
(30')
ах ау 0
0
Отсюда видно, что ротор в каждой точке направлен перпендикулярно
плоскости векторного поля XOY,
Положим вначале, что движение совершает плоское твердое тело (тонкая
пластина). Как известно из механики, скорость его перемещения всегда
можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движений:
где у0-скорость центра инерции тела (скорость поступательного движения
тела), [со, г]-линейная скорость
вращения вокруг центра инерции произвольной точки
тела, радиус-вектор которой равен г, со - вектор угловой скорости,
направленный по оси вращения, 'одинаковый
для всех точек тела (со = const). Так как поступательная
скорость у всех точек твердого тела одинакова (у0 = const),
то ясно, что roty0 = 0. Следовательно,
Выберем оси координат таким образом, чтобы ось вращения тела совпала с
OZ, а плоскость ХОК-с плоскостью движения пластины, тогда со* = соу = 0
а2 = со, а точки тела характеризуются только двумя координатами (х, у).
Поэтому согласно правилам векторного умножения векторов:
Подставляя в формулу (30') компоненты вектора [со, г], получим:
у = у0 + [ю, г],
rot V - rot [со, г].
i j k
[со • г] = 0 0 со
х у 0
-соуг ф-сох/.
-у --->
rot [со, г] - 2(x)k,
57
*л
или
rOtV'Zb)*COr>St
л
rot v = 2co.
(31)
Рис. 18
Ротор линейной скорости твердого тела есть вектор, равный удвоенной
угловой скорости его вращения.
Поскольку у твердого тела угловая скорость
со постоянна, то векторное поле rot v также является постоянным (рис.
18).
Знание ротора векторного поля весьма важно для определения циркуляции
вектора по произвольному замкнутому контуру.
Пусть в поле а (г) задана направленная замкнутая линия L (направление
