Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
42
Так как направление площадки ВС и нормали п выбрано произвольно, то
согласно (12) оказываются выпол-
ненными условия того, что ах и а являются составляю-
щими тензора о (см. соотношение 10 в главе I). Не должно
-> -> ->
смущать то обстоятельство, что векторы ох, оу и а" построены в разных
точках - ведь треугольник ABC бесконечно мал.
/\
Легко доказать, что тензор напряжений а является симметричным тензором.
Диагональные компоненты охх, °уу> °zz называются нормальными, а
недиагональные - оху, oxz, оуг-сдвиговыми. Если тензор привести к главным
осям, то он примет диагональный вид:
°11 0 0
о = 0 ^22 0
0 0 °33 !
Главные значения тензора Х]=аи, Я11=а22, Хш:=а3, на* зывают главными
напряжениями. Уравнение поверхности напряжений имеет вид:
V2 + V/2+^iiiZ2 = 1-
Так как значения X,, Хп, Хш могут в этом случае быть как положительными,
так и отрицательными, то эта поверхность представляет собой либо
эллипсоид, либо гиперболоид (одно- или двухполостный).
§ 4. Тензор инерции
Важной характеристикой механических свойств твердого тела по отношению к
вращательному движению является его тензор инерции I. Известно, что
моментом инерции тела относительно некоторой оси называется сумма
произведений масс всех точек его на квадрат расстояния их от этой оси:
I=^mkrl. (14)
k
Момент инерции служит мерой инертности тела при вращательном движении, т.
е. играет такую же роль, как масса тела в поступательном движении.
Формулы механики вращательного движения аналогичны соответствующим
формулам поступательного движения. Так, кинети-
43
ческая энергия тела при его вращении вокруг некоторой оси с угловой
скоростью равна:
Гвр = |/^. (14')
Уравнение динамики вращательного движения подобно второму закону Ньютона:
^-(/со) = Л4,
где М-момент силы. Однако, несмотря на такое сходство, между динамикой
поступательного движения и динамикой вращательного движения имеется и
существенное различие: в то время как масса тела т есть скалярная
величина, момент инерции / является величиной значительно более сложной
природы. Действительно, для одного и того же тела момент инерции может
принимать бесчисленное количество значений в зависимости от выбора оси.
Разберем этот вопрос подробнее.
Произвольное движение тела всегда можно представить как сумму
поступательного движения некоторой точки, выбираемой за начало координат,
и вращения тела вокруг начала координат. При этом выражение для
кинетической энергии выглядит наиболее просто, если поместить начало
вращающейся системы координат в центр инерции тела.
Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о моментах инерции тела
относительно осей, проходящих через центр инерции. Но ведь и таких
центральных осей можно провести по различным направлениям бесчисленное
множество, а значит, существует такое же множество соответствующих
(центральных) моментов инерции.
Мы, однако, покажем, что момент инерции представляет собой симметричный
тензор и поэтому достаточно знать шесть его скалярных компонентов в
некоторой системе координат, чтобы определить его компоненты для любой
другой тройки взаимно перпендикулярных осей.
Общее выражение для кинетической энергии системы материальных точек имеет
вид:
(15)
44
Абсолютную скорость точки можно представить как сумму скорости центра
инерции и скорости, обусловленной вращением тела вокруг него:
"* = "? +К г*]. (16)
Подставляя (16) в (15), получаем:
w = т y* X, mk+X mk й. [(r)- Ы) + 4- X mk К 'a]2-
к k k
(15')
Так как равна массе тела т и по правилам сме-
k
шанного произведения
(v", [и, '*]) = ('*, К. (r)1). то второе слагаемое в (15') можно
представить в следующем виде:
Й. (r)1 2я1*г*.
Из механики известно, что радиус-вектор центра инерции определяется по
формуле:
-> 1 у -"
Тс=-Ът^ rk-
к
Но так как начало координат мы совместили с центром
^ -У
инерции, то гс = 0, или ^?imkrk = 0. Поэтому второе ела-
k
гаемое в (15') пропадает.
Итак,
k
Из векторной алгебры известно, что [а, Ь]2 = а2Ь2- (а, Ь)2.
Поэтому
ir = i-m^ + i-^mA(m2^ -(т, л*)2). (17)
k
Формула (17) показывает, что кинетическая энергия тела состоит из энергии
его поступательного движения И7П0СТ =
= Ymv'o и кинетической энергии, зависящей от угловой
.45
скорости со энергии вращательного движения:
^вращ = К4 - (tt>7ft)a} .
к
Рассмотрим последнее выражение подробнее. Поскольку
coV! = (co! +а>1 + со*) (4 +у\+г\) и (сола)2 =
(a>xx + ayy + a2z)\
то для кинетической энергии вращательного движения имеем следующее
равенство:
^ вр =-2^т*{Ы + ) COJ + (4 + 4) + (4 + l/fc ) tt>l -
и
- 2 (^CO^COy + Ar^ACO^ + C/^ACOyCO^)}. (18)
Обратим внимание на то, что в частном случае, когда ось вращения
направлена вдоль одной из координатных осей, например вдоль оси X,
выражение (18) упрощается и принимает вид:
где 1Х- момент инерции относительно X. Это наводит на мысль, что если
ввести симметричный тензор, компоненты которого образуют матрицу
то можно будет выражение (18) записать кратко так:
Эта формула является обобщением равенства (14'), и поэтому / естественно
