Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Более того, можно заведомо утверждать, что эта линия есть эллипс, ибо,
как это ясно из физического смысла, главные значения Я] и Яп тензора
деформации всегда величины положительные (при Я < 0 тело должно было бы в
результате деформации "вывернуться наизнанку"). Естественно назвать
эллипс, полученный из окружности в результате деформации эллипсом
деформации. Определим вид этого эллипса. Полагая как обычно, что
симметричный тен-
зор U неособенный, можно из равенства г' = (U, г) выра-
39
Рис. 10
зить г через г :
г(0-\ г'), где U"1 - симметричный тензор, обратный U, т. е. U~1U = 1.
Подставляя те-перь значение г в уравне-
ние окружности (г, г) = 1, получим:
ф-\ ?)-ф-\ г')=1.
Так как для симметричного тензора порядок сомножителей безразличен, т. е.
приходим к следующему уравне-
г) = (г, г/-*), то нию для эллипса деформации:
(г\ U~2 r')= 1,
-^
где г' - текущий радиус-вектор точек кривой. Неоднократно уже отмечалось,
что проще всего выглядит уравнение эллипса в системе координат, оси
которой совпадают с главными осями тензора. Несложно убедиться из
геометрических соображений, что при возведении в степень тензора его
главные оси не меняются, а главные значения степени тензора равны степени
главных значений тензора. Поэтому приведенный к главным осям тензор
принимает вид:
1/Л? 0
0 1/Л?1
Следовательно, в результате скалярного умножения 0~2 на -> -> -> ->
радиус-вектор г' = xi + yj получается новый вектор г":
У-I (10)
?/-* =
(U~\ г) =
ч
Л?1
Подставляя (10) в (9), получаем слева скалярное произведе--> ->
ние векторов (г', г"), так что уравнение кривой прини-
мает вид:
ч
41
1.
(11)
Это и есть уравнение эллипса деформации. Его оси совпадают с главными
осями тензора U, т. е. с направлениями наибольшего и наименьшего
растяжений (или сжатий, если
40
Л,<1). Зная эллипс деформации, можно весьма просто
-^
определить, в какой вектор г' превращается любой век-
-^
тор г (рис. 10). Подчеркнем, что для характеристики деформации всего тела
нужно знать множество эллипсов в каждой точке тела (поле тензорных
эллипсов).
§ 3. Тензор напряжений
В недеформируемом теле отсутствуют силы взаимодействия между отдельными
частями тела. Если же к этому телу приложить внешние силы, то оно будет
деформироваться-молекулы тела будут смещаться до тех пор, пока возникшие
внутри тела силы упругости, пропорциональные по закону Гука деформации и
стремящиеся возвратить тело к первоначальному состоянию, не станут
равными внешним силам.
Во всяком деформированном теле между соседними его частями существуют
силы, которые действуют только по поверхности раздела, так как они
порождены близкодействующим молекулярным взаимодействием. Если внутри
деформированного (например, растянутого) тела провести
некоторую площадку PQ (рис. 11, а), то на верхнюю часть
-^
I со стороны нижней части 11 действует некоторая сила /, зависящая при
данной деформации от площади S этой
площадки. Поэтому принято рассматривать отношение
-^
силы / к площади S. Это отношение а называют напряжением:
/
С
\
а
5
6
х
Рис. II
41
Ясно, что вектор напряжения а не обязательно перпендикулярен площадке и
зависит как от точки, выбранной внутри тела, так и от ориентации
площадки. Если мы рассматриваем определенную точку, то, говоря о
напряжении в ней, необходимо указать направление нормали,
характеризующей ориентацию площадки, и отмечать это
->
соответствующим индексом. Так, ох-напряжение для пло-
-У
шадки, нормалью которой является ось X, ау-напряжение для площадки,
перпендикулярной оси Y и т. д. (рис. 11,6).
Поскольку через точку внутри тела можно провести бесчисленное множество
по-разному ориентированных площадок, то может показаться, что для полного
знания
напряжений в этой точке нужно определить бесконечное ->
количество векторов а для всех площадок. Оказывается, однако, что
напряжения в каждой точке образуют тензор
и поэтому достаточно знать три напряжения ах, оу, о2 по
трем взаимно перпендикулярным площадкам, чтобы можно
->
было вычислить напряжение ст" для проведенной через эту точку произвольно
ориентированной площадки с нормалью п.
Итак, покажем, что напряжение представляет собой тензорную величину. Для
простоты рассмотрим плоское деформированное тело. Вырежем мысленно вокруг
рассматриваемой точки М внутри тела бесконечно малый треугольник ABC
(рис. 11, б). Поскольку этот треугольник, как и все тело, неподвижен, то
сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. На грань АВ действует
сила, равная -ах-\АВ\. Здесь знак минус объясняется тем, что нормаль к
площадке АВ направлена в сторону, противоположную оси X. Аналогично на
грань АС действует сила - ау-\АС\, и, наконец, на грань ВС-сила + о"-
|ВС|. Таким образом,
• I ВС | - ах-\АВ\ - Сту-|АС| = 0.
Но, как ясно из рисунка, | АВ | = | ВС | - cos (п, х) и | АС | =
/ч
= | ВС | • cos (п, у). Подставляя значения | АВ | и | АС \ в предыдущее
равенство и производя сокращение, получим:
о" = ох cos (п,х) + оу cos (пСу). (12)
