Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
любой системе координат!) суть коллинеарные векторы. Очевидно, что у
диады строки и столбцы матрицы компонентов пропорциональны друг другу, а
ее определитель равен нулю.
В произвольной системе координат матрица диады имеет вид:
а b
D
са
Заметим, что два вектора 7 и Ь можно умножать не только скалярно (а, Ь) и
векторно [а, Ь\, но и те н з о р н о {а,о\.
21
Тензорным произведением векторов а (а1У а2) и b (blt b2) называется
тензор, компоненты которого образуют следующую матрицу:
аА аф2
а2Ь1 а2Ь2
Рекомендуем читателю убедиться, что компоненты действительно
преобразуются по тензорному закону (11). Поскольку строки и столбцы
матрицы отличаются постоянным множителем, то полученный тензор D является
диадой, составляющие которой равны D1 =aj) и D2 = а2Ь, т. е.
коллинеарны второму сомножителю Ь. Отсюда вытекает, что при повороте осей
координат направление в пространстве составляющих диады не меняется, а их
длины меняются совместно с проекциями первого сомножителя а. Кроме тою,
ясно, что тензорное произведение векторов некоммутативно, т. е.
{а, ~Ь}Ф {Ь, а}.
-> ->
Только в том частном случае, когда а и b являются кол-линеарными
векторами, их тензорное произведение образует симметричную диаду и не
зависит от порядка сомножителей.
Упражнение
1. В некоторой системе координат тензор имеет вид:
У з ° 1 2 У~3
Ответ:
Вычислить его компоненты и графически изобразить его составляющие в новой
системе координат, повернутой относительно старой на угол 60°.
2 У 3 0
5/2 УЗ
2. В системе координат ХОУ математическая величина характеризуется
матрицей:
-1 2 4 О
22
В другой системе X'OY', повернутой на 45° относительно нештрихованной,
эта же величина определяется матрицей:
5/2 -1/2
3/2 - 7/2
Выяснить, является ли данная величина тензором.
3. В каком случае матрица тензорного произведения двух векторов содержит
только один ненулевой элемент?
4. В какой системе координат одна из составляющих диады
D = {a, Ь\ обращается в нуль? Чему в этом случае равна длина второй
составляющей? Является ли инвариантом суммарная длина
составляющих диады J Л>2 [ ?
§ 5. Тензорная алгебра
Над тензорами как своеобразными математическими величинами,
характеризующими определенные физические свойства реальных тел, можно
производить ряд алгебраических операций: складывать, умножать на числа,
умножать тензор на тензор и др. Поэтому множество тензоров образует
алгебру, являющуюся обобщением векторной алгебры.
Поскольку тензор в любой системе координат характеризуется скалярными
компонентами pjk, то естественно любое действие над тензорами определять
как операцию над компонентами; при этом результат операции должен быть
инвариантен относительно преобразования координат.
Перейдем к ознакомлению с простейшими алгебраическими операциями над
тензорами.
1. Суммой двух тензоров ГГ и П" называется тензор
П = П' + П",
компоненты которого равны суммам компонентов слагаемых:
Pjk = P'jh^ Pjk-
2. Произведением тензора П на число X называется тензор<5йГ=Ш, компоненты
которого tjh равны произведению соответствующих компонентов pjh на К:
tjk~ hpjk.
Обобщением операций 1 и 2 являются линейные комбинации нескольких
тензоров. Пусть даны п тензоров
23
П', П", П<"> и п чисел Х2, ..., Хп\ линейная ком-
бинация
Х1П' + Х2П"+...+Х"П<'"
есть некоторый тензор Ш, компоненты которого tjk суть линейные комбинации
соответствующих компонентов р$:
tjk = Кр% + ^2Pjk + • • • + К№-
3. Перестановкой индексов (транспонированием) называется операция,
превращающая тензор П с компонентами pjk в транспонированный тензор П,
компоненты которого Pjk = Pkj- Так, если
п = Рч Р12
Ра Р22
й = Рч Рч
Pl2 Р22
В частности, в случае симметричного и антисимметричного
тензоров S = S и А --А.
Следствием из рассмотренных трех операций является утверждение, что любой
тензор П всегда можно представить (и притом единственным образом) в виде
суммы симметричного и антисимметричного тензоров:
n=s+i.
Действительно, переставляя индексы у каждого из тензоров этого равенства,
получим:
ft = s-А.
Складывая и вычитая оба эти тензорных равенства, находим, что
S = i-(ft + lT) и Л = у(II-ft). Таким образом, П = = 1(П + П)+4-(П-П).
4. Скалярным произведением тензора П = i1plJr i2p2 на вектор а = ilal
+ /2а2 справа называется новый век-24
/ Л -7 -7 -7 -7 -7 ^7 ^7
тор а' = (ГГ, а) = I, (/?, а) + /2 (р, а). Иными словами,
ком
-> -> -"
поненты нового вектора a' = i,al + i2a2 равны:
а1 = Риал Т" Pl2a2>
(12)
^•2 /^21^1 Ргг^г'
или (в сокращенной записи):
а/ = 2Р/А- (12')
к
А -> ->¦ -* ->
5. Скалярным произведением тензора П = 1грг -f i2р2
на вектор а = -f i2a2 слева называется вектор а =
= (а, П) = (а, /г) рх + (а, 12) р2. Компоненты вектора а
равны
ах = агРц -f a2p2i, 1 а2 = ахр12+а2р22, J
или (в сжатой форме):
d) = ^akpkJ. (13')
k
Легко видеть, что скалярное произведение тензора А ->
П на вектор а слева равно произведению транспонированного тензора II на
тот же вектор справа, и наоборот:
(П, а) = (а, Й).
