Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
исчисления). Однако в случае симметричных тензоров, с которыми обычно
имеют дело в физике, такое наглядное представление возможно. А именно,
каждому неособенному симметричному тензору1 можно сопоставить на плоско
сти центральную коническую кривую-эллипс (чаще всего) или гиперболу.
Рассмотрим симметричный тензор
§ - II *11 *12 II *21 *22 '
у которого S12 = S21.
Попытаемся определить геометрическое место точек, описываемое векторным
уравнением:
МО = 1, (21)
-> -> ->
где г =xi~h yj-текущий радиус-вектор точек исследуемой линии. Если бы
тензор S был равен единичному тензору /, то уравнение (21) приняло бы,
очевидно, форму (г, г) = 1
1 Неособенным называется тензор, определитель матрицы которого не равен
нулю.
32
или (в координатной записи) хг-\-у2=\, т. е. выражало бы собой
окружность.
В общем же случае, когда §Ф1, уравнение (21) опи-
Л ¦>
сывает более сложную кривую. Мы знаем, что (Sr) есть
некоторый вектор г', определяемый согласно (12) следующим образом:
г' = (S, г) =7(snx + slty) + j (s21x + s22y).
(Мы временно возвратились к обозначениям координат через х, у вместо хг,
х2, чтобы удобнее было сопоставить наши соотношения с обычными формулами
аналитической
-У -У
геометрии.) Умножая теперь скалярно г на г', получаем уравнение второй
степени:
snx2 + 2 s12xy + s22#2 = 1. (22)
Поскольку его дискриминант совпадает с определителем тензора S, который
по предположению не равен нулю, то уравнение (22) описывает центральную
кривую второго порядка - эллипс или гиперболу. Связь между симметрии-
ным тензором S и соответствующей ему линией (г, Sr) = 1 становится
особенно ясной, если их выразить в системе координат, совпадающей с
главными осями тензора. По^ скольку в этом случае матрица компонентов
тензора S принимает диагональный вид:
с0 S11 0
0 S°2 2
где sj|a = ^ii, то уравнение кривой (г, Sr)=l
тоже упрощается:
17ХГ + Ж7 = 1' (23)
Отсюда сразу вытекает, что в случае, когда А,, > О, А.,, >0, мы имеем
эллипс, а при А., > 0,
^1Г < 0 (или наоборот)-гиперболу. Заметим, что если оба главных значения
и отрицательны, то уравнение (23) описывает мнимый эллипс. Рис. 7
33
Определим теперь точки пересечения тензорного эллипса с осями координат.
Из уравнения (23) ясно, что на главных осях эллипс отсекает отрезки x0 -
±V 1 AI,p0 = ±V 1Лц. Полагая попеременно у - О и х = 0, мы для всех
других направлений осей координат аналогично найдем из уравнения (22),
что эллипс пересекает ось абсцисс в точках
х = -\ и ось ординат в точках у-±- 1- ¦ .
" Vsn Y ы
Таким образом, зная тензорный эллипс, можно графически определить
диагональные элементы этого тензора в любой системе координат с помощью
соотношений sn = l/x\ s22=l/уг (рис. 7).
Глава II.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ И МНОГОМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
В предыдущей главе мы познакомились с простейшими двумерными векторами и
тензорами. Теперь мы обобщим полученные там соотношения на наиболее
важный для практики случай реального трехмерного пространства, а также на
пространства более высоких размерностей.
При этом по-прежнему будем пользоваться прямоугольными декартовыми
координатами.
§ 1. Векторы и тензоры в " мерном пространстве
Обобщая понятие двумерного вектора, данное в § 2
предыдущей главы, назовем "-мерным вектором а величину, характеризуемую в
каждой системе координат п скалярными компонентами alt а2, ..., ап,
которые при повороте осей координат преобразуются по определенному
линейному закону:
a'i:=^Р;А> (1)
?=1
где коэффициенты характеризуют "-мерный угол поворота координатных осей.
(Свойства этих коэффициентов будут подробно рассмотрены в ч. III.)
34
Всякий "-мерный вектор можно представить в таком виде:
а= Е ikak,
k=\
-> -> ->
где ilt i2 in-орты осей координат.
Длиной Еектора а называется величина
I а I - -Ь й\Л~ • • ¦ 4~ "л"
(2)
(3)
не зависящая от выбора координатной системы.
В частности, трехмерный вектор записывается в виде:
а = ixax + /2аа + i3a3 или, что то же самое, в виде:
а axi + avj 4- azk.
Аналогично обобщается понятие тензора второго ранга: "-мерным тензором П
называется величина, характеризуемая в каждой системе координат п
векторными состав-
ляющими plt рг, ..., рп, либо п2 скалярными компонентами pllt р12, рпп,
причем и составляющие, и ком-
поненты при повороте осей координат преобразуются по линейным законам
(см. ч. III):
Pi " ^jfi/kPk*
P/к = ^?>/$krPlr-
I г
Всякий "-мерный тензор можно в данной системе координат выразить либо
через составляющие -
П кРк*
к
либо в виде "-рядной матрицы компонентов-
Ри Р11 ' •• Р,Л
п = Р 21 Pit • ¦ Рал
Рл1 Р Л2 ' • • Рпп
(4)
(5)
Компоненты "-мерного тензора образуют " инвариантов, каждый из которых
является суммой всевозможных диагональных миноров различных порядков К-
1, 2, ..., п.
35
В частном случае трехмерного пространства тензор характеризуется тремя
составляющими;
П = &.Pi) + (?2.P2) + (i" ps) или П = (рх, Г) + (ру, /) + (рг, к) либо
