Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
рассматрн-
вать как некий пространственный вектор а с тремя компонентами акр, азел,
аст, характеризующими концентрации соответствующих красок.
Наконец, аналитический подход позволяет обобщить понятие вектора и ввести
более сложные математические величины - тензоры второго и более высоких
рангов, которым вообще не соответствуют наглядные геометрические образы.
(С этой точки зрения вектор есть тензор первого ранга.)
Однако наряду с достоинствами, алгебраическое пред-
ставление вектора а в виде проекций ах и ад обладает и существенным
недостатком: ведь проекции зависят не только от определяемого ими
вектора, но и от выбора системы координат.
Говооя словами известного советского геометра П. К. Р ашевского, "при
координатном методе исследования на изучаемую геометрическую картину
накладывается случайный выбор координатной системы, и те аналитические
данные, которые мы получаем, отражают не только то, что нас интересует,
но и то, что вовсе не интересует и что без надобности усложняет
результаты. Возникает потребность в сложных построениях научиться
отделять геометрически существенное от случайно привнесенного выбором
осей координат".
15
Последняя задача частично решается путем установления так называемых
инвариантных соотношений между скалярными проекциями, определяющими
вектор, или скалярными компонентами более сложной математической величины
- тензора.
Ясно, что хотя значения ах и ау и зависят от выбора осей координат, тем
не менее они определяют геометрический объект-вектор. Следовательно,
между ними должны существовать одна или несколько зависимостей, которые
характеризуют внутренние геометрические свойства этого объекта, не
зависящие от выбора координатной системы и называемые инвариантами:
Ф(а*> аи)=Ф(ах, ау) = inv.
Каждый инвариант имеет непосредственный геометрический (или физический)
смысл. Легко видеть, что в слу-
чае плоского вектора а, определяемого двумя скаляр-ными компонентами
(проекциями) ах и ау, инвариантным соотношением является функция а\-\-а\,
равная квадрату длины вектора, это соотношение инвариантно к повороту
прямоугольных осей координат, ибо, возведя в квадрат равенства (8) и
сложив их, получим:
а* + а'у = а2х + а*у.
§ 3. Векторные поля и их дифференциальная характеристика
Пусть каждой точке г (х, у) плоскости (или части ее)
соответствует некоторый вектор а (г), т. е. имеется векторная функция
координат илй векторное поле. Как
определить быстроту изменения векторной переменной а в окрестности
произвольной точки М? Ясно, что это задача дифференциального исчисления и
она сводится
к определению производной векторной функции а по век-
торному аргументу г.
Как и в случае скалярного поля, начнем с определения производной по
данному направлению I:
j|= Ura (9)
01 Д/->0 ш
-> -> -
где аа и а{- значения векторной функции а в точке М и близкой к ней на
прямой I точке Mt.
16
Из (9) следует, что производная есть величина
векторная. Для другого направления проведенного
->¦
через точку М, получим другой вектор щг. Но это не
значит, что для полной дифференциальной характеристики векторного поля в
данной точке необходимо знать
бесконечное количество производных от а по всем всевозможным
направлениям.
Оказывается, что, как и в случае скалярного поля, достаточно знать всего
две векторные производные по двум взаимно перпендикулярным направлениям,
скажем
и -щ-. Дело в том, что производная по любому дру-
да
гому направлению весьма просто выражается через
да г, " "
и . Действительно, всякий вектор а полностью определяется в системе
координат ХОУ двумя скалярными компонентами ах и ац. Поэтому любому
векторному полю
а (х, у) всегда в этой системе координат можно сопоставить эквивалентную
совокупность двух скалярных полей ах(х> У) и ау(х> У)- А так как
производной скалярного поля является градиент, мы получаем, что пара
векторов \ах и Vay, построенных в интересующей нас точке векторного поля,
полностью характеризует в ее окрестности -> ->
поведение функции а (г).
Но можно ли отсюда заключить, что производной век-->
торной функции а(х, у) является пара векторов Vах и Внимательное
рассмотрение существа дела показывает, что на этот вопрос следует
ответить отрицательно. Подобно тому как в случае скалярного поля ф (х, у)
д(р д<р " "
частные производные ^ и -- представляли собой псевдоскалярные величины
(их значения зависели не только от вида функции ф (х, у), но и от выбора
осей X и К), в случае
векторного поля а(х, у) градиенты \ах и \av являются псевдовекторами, ибо
они не имеют инвариантного смысла, а зависят от выбора осей координат.
Ведь, выбрав новые
оси X' и У, мы тому же векторному полю а (х, у) сопоставим
17
два других скалярных поля а'х(г) и а'у(г) и поведение функции а в
окрестности рассматриваемой точки будет определяться другой парой
векторных величин \ах и \ау.
Все это наводит нас на мысль, что в случае векторного поля имеет место
такое же положение, что и в случае скалярного поля. Мы уже знаем, что
