Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
вектор со, называемый ротором
(или вихрем) векторного поля со = rot а; его компоненты определяются так:
со.
да2
'~ду
дау
дг
да,
да.
СО,,
дг дх '
При этом матрица А принимает вид:
*-т
Таким образом, вектор
' да, да
со. =
дау
дх
fox
" ду '
(24)
0 -
0
ю* 0
(да2 дау\-> (дах да2\-> (дау
да.
эквивалентен антисимметричному тензору А и представляет собой векторный
инвариант тензора-производной.
Совокупность двух величин-скаляра diva и вектора
rot a, -являющихся инвариантами тензора-производной
может служить дифференциальной характеристикой
dr
-> ->
векторного поля а (г). Каждая из этих величин имеет непосредственный
физический и геометрический смысл, который мы выясним ниже.
Однако сначала необходимо ответить на следующий
вопрос: как могут скаляр diva и вектор rota, определяемые в совокупности
четырьмя числами, характеризо-
вать векторное поле а (г), т. е. выполнять ту же задачу,
da о
что и тензор -^, определяемый девятью скалярными
dr
-> ->
числами? Конечно, diva и rota, называемые иногда ска-лярной и векторной
"производными" функции а (г), не
da "
эквивалентны в точности тензору-производнои -. В то
dr
время как тензор-производная однозначно и полностью характеризует в
окрестности рассматриваемой точки про-
странства быстроту изменения векторной переменной a, дивергенция и ротор
этой функции описывают ее поведение неполно и неоднозначно. Это значит,
что могут
существовать две различные векторные функции а (г) и
-> -> -> -> ->
Ь (г), у которых div a = div b и rot a = rot b, хотя
¦ Однако если diva и rota известны в каждой точке
dr dr
поля и на его границах, то сама векторная функция а (г) определяется
однозначно.
§ 6. Физический и аналитический смысл дивергенции векторного поля
Пусть в некоторой области задано векторное поле
скоростей текущей жидкости v(r). Легко видеть, что через произвольную
малую площадку dS за одну секунду про-
51
текает то количество жидкости, которое заполняет объем наклонного
цилиндра с основанием dS и образующей v (рис. 14). Поскольку высота
цилиндра равна проекции образующей
на нормаль п к площадке dS, то объем вытекшей жидкости составляет
величину
Рис. 14
dN = vn dS, (26)
называемую потоком вектора v через площадку dS. В общем случае потоком
произвольной векторной функции -> ->
а (г) через конечную поверхность S называют двойной интеграл по этой
поверхности от dN:
Если поверхность S является замкнутой и ограничивает объем V, то поток
вектора а через нее
определяет объем жидкости, вытекающей (при N >0) из У в окружающее
пространство или, наоборот, втекающей (при N < 0) внутрь объема и за
единицу вре-менц, Из геометрических соображений ясно, что значение
потока через некоторую замкнутую поверхность S связано
->
с тем, как быстро меняется величина вектора а вдоль векторных линий (или
линий тока) внутри рассматриваемой области.
Нетрудно доказать следующее утверждение, известное как теорема Гаусса-
Остроградского.
Поток N переменного вектора а через произвольную замкнутую поверхность S
равен (тройному) интегралу от дивергенции этого вектора по объему V,
ограниченному этой поверхностью:
N = Ha.dS.
S
(28)
52
Применяя это равенство к небольшому объему ДУ, ограниченному малой
поверхностью AS, можно приближенно записать:
Понятно, что это приближенное равенство выполняется тем точнее, чем
меньше рассматриваемый объем ДУ. Исходя из этого, мы приходим к другому
определению дивергенции вектора.
-> ->
Дивергенция векторного поля а (г) в данной точке равна пределу отношения
потока AN через малую поверхность AS, окружающую эту точку, к объему ДУ,
ограниченному этой поверхностью, при стремлении последнего к нулю:
-*• dN
diva = ^f. (29)
Если а означает скорость жидкости, то div а в данной
точке равна отношению объема жидкости dN, вытекшей
за единицу времени из бесконечно малого объема dV,
к величине dV. Отсюда и произошел термин дивергенция
(расходимость): жидкость растекается из тех точек (не-->
точников), где div а > 0, и, наоборот, стекается туда, где div а < 0
(стоки).
->
Величину diva называют поэтому мощностью источника. В качестве примера
рассмотрим следующие плоские векторные поля (рис. 15):
^ г xi -f- yi t ? r xi -\-yi щ t _ xi-f- yi
a = T~ yx 2+y2 ' ~72~X2+y*' 78 ~(*2_|_y2)3/2 •
Найдем их дивергенции:
AN = (ff> andS " diva-ДУ,
$
AS
откуда
ДN_ AV -
div a"
53
\
\
/
V
У/
*
о (Г) =Const
*
V
v\
к
\v
/
> ф *
б(Г}~1
4
/ 4
/
Следовательно, каждая точ-
ка поля а (г) является источником, мощность которого убывает с
расстоянием от начала координат пропорционально 1/г; поле
6 (г) не имеет источников;
а в каждой точке поля -> ->
с (г) имеется сток, мощность которого убывает пропорционально 1/г3.
Чтобы эти выводы стали понятными, примем, что
а, b и с представляют собой скорости плоского течения воды в бассейне
неизменной глубины. Рассмотрим тонкий слой F, ограниченный двумя
коаксиальными цилиндрическими поверхностями и
S2 (рис. 16).
