Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
поведение ска-
лярной функции ф (г) характеризуется в каждой системе
координат своей парой скалярных величин ~ и - ,
которые являются компонентами вектора Тф, имеющего непосредственный,
инвариантный, не зависящий от выбора системы координат смысл. Точно так
же поведение век-
торной функции а (г) в любой системе координат характеризуется парой
векторных величин уах и ^ау. Поскольку,
однако, характеризующая поведение функции а (г) производная должна иметь
объективный, инвариантный смысл и не должна зависеть от выбора осей, то
следует рассматривать уах и \ау как векторные составляющие в данной
системе координат некоей более сложной величины,
называемой тензором и обозначаемой в виде -zr. Тензор
dr
da
и является производной векторной функции а (г).
dr
Из всего этого, в частности, следует, что тензор представляет собой
инвариантную математическую величину, которая в каждой системе координат
определяется парой векторных составляющих, подобно тому как вектор есть
инвариантная величина, определяемая в каждой системе своей парой
скалярных компонентов.
Перейдем теперь к подробному изучению тензорных величин.
§ 4. Тензоры и их свойства
Тензором называется величина П, характеризуемая
в системе координат XOY двумя векторами рх и ру, преобразующимися при
переходе к другой системе координат Х'ОУ в векторы рх и р'у по формулам:
px = pxcos(xr7x) + pycos(^'tf), \
Векторы рх и ру называются составляющими тензора
П по осям X и Y. Подчеркнем, что рх и ру не являются какими-то частями
тензора (тензор есть единая величина), а лишь характеризуют эту величину
в данной системе координат. В другой системе координат мы получим другие
составляющие, причем каждая "новая" составляющая зависит от всех "старых"
составляющих.
->
Подобно выражению вектора через компоненты а = = axi + ""/, принято
записывать тензор через составляю-щие П = pxi Pt,j- (Следует иметь в
виду, что эта за-
пись символическая: px-i - не скалярное произведение
двух векторов.)
-> ->¦
Так как рх и ру-векторы, то их можно разложить на компоненты:
четырьмя скалярными величинами, называемыми компонентами тензора, которые
записываются в виде таблицы (матрицы):
В тензорном исчислении стремятся к максимальному сокращению
математической записи, для чего переимено-
вывают координаты х, у в xit xt, а орты I, / в ilt i2, тогда для каждого
вектора можно написать:
Рх Рхх i + Рху />
Ру = Рух1 "I- Pyyi-Отсюда ясно, что тензор П можно также определить
Д Рхх Рху
I Рух Руу
2
Аналогично для тензора получим:
2
k
Соответственно в матричной форме:
Pll Pl2
I1P2I Р 22
19
Если обозначить cos (xjt xk) = ajt,, то формулы преобразования
компонентов вектора запишутся так:
<4 = 2 "а А-/
Аналогично запишется формула для преобразования
составляющих тензора p'k=2^akiPi- Легко показать, что
1
для компонентов тензора формула, связывающая "старые>: компоненты с
"новыми", будет выглядеть так:
= (П)
г S
Отсюда видно, что "новые" компоненты тензора являются линейными
комбинациями "старых".
Таким образом, можно дать другое определение понятия "тензор".
Тензором называется величина, характеризуемая в системе координат ХОУ
совокупностью четырех чисел рк1, записываемых в виде матрицы:
П =
Ри Pii Р21 Р22
и преобразующихся при переходе к другой системе координат X'OY' по
формулам (11).
Так как мы рассматриваем только прямоугольные декартовы системы
координат, то тензоры, о которых мы говорим, называются ортогональными
аффинными тензорами второго ранга. Обычные векторы представляют собой
тензоры первого ранга. А скалярные величины могут быть названы тензорами
нулевого ранга.
Еще раз подчеркнем, что каждый тензор П имеет непосредственный,
инвариантный смысл, хотя в различ-
ных системах координат его составляющие рк и компоненты рк1 выглядят по-
разному.
(Можно сказать, что составляющие тензора рг и р2 являются "векторными
проекциями" тензора П на оси координат Xj и х2, а компоненты pn, pvl,
р21, рм-соответствующими "скалярными проекциями векторных проекций"
тензора.) Поэтому для тензорного исчисления значение имеют только те
свойства компонентов тензора, которые справедливы в любой системе
координат, т. е, являются инвариантными.
20
Исходя из этого рассмотрим некоторые простейшие типы тензоров.
1. Нулевым тензором 0 называется тензор, все компоненты которого равны
нулю:
0 °! о о г
0 =
2. Единичным тензором / называется тензор, составляющими которого
являются орты i и /, а матрица компонентов имеет вид:
- II1 0 / = |о 1
Легко проверить с помощью формулы (11), что у тензоров б и / их
компоненты сохраняют свои значения в любой системе координат.
3. Тензор S называется симметричным, если его компоненты удовлетворяют
условию sjk - skj, т. е. его матрица имеет вид:
а Ь\
S =
4. Тензор А называется антисимметричным, если
0/* = - а, матрицу:
*/>
т. е. его компоненты образуют следующую
А =
0 Ь\
ь о
Ясно, что свойства симметричности и антисимметричности - инвариантны.
5. Частным видом тензоров являются диады D, составляющие которых (в
