Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
3. Определить вид скалярного поля ф (х, у) и геометрически изобразить
его, если поле его градиента определяется формулой уф =
= а (рис. 5, а).
Ответ: ф = а У х2 + у2 = аг; поверхность ф (х, у) представляет собой
конус с вершиной в начале координат (рис. 5,6).
§ 2. Аналитическое определение понятия вектора
Перейдем к более глубокому знакомству с векторными величинами и
векторными полями. Как уже отмечалось, исторически векторное исчисление
возникло в связи с потребностью физики количественно описывать быстроту
движения, изменения быстроты движения, взаимодействия тел.
Соответствующие величины имеют не только модуль, но и направление.
Если бы даже все физические величины обладали скалярным характером, то и
в этом случае математическая физика не могла бы обойтись без векторов.
Ведь быстрота изменения скалярной функции двух переменных ф (х, у) не
может быть охарактеризована скалярной функцией; для этого нужна
переменная векторная величина Уф(х, у), играющая роль производной
скалярного поля.
Правда, на первый взгляд представляется, что для указанной
йф йф
цели можно воспользоваться скалярными величинами -т3- и -Д-,
дхду
которые, как может показаться, лишь для удобства объединены в вектор уф.
Однако более внимательное рассмотрение показывает, что это не
тт дф дф
так. Дело в том, что частные производные и , строго говоря,
не являются скалярными (иногда их называют псевдоскалярами). Ведь
значения этих частных производных зависят не только от вида функции ф (х,
у), но и от выбора осей координат. Выбрав по-иному направления этих осей,
мы получим для указанных производных другие значения.
Нетрудно убедиться, что причиной таких свойств скалярных про-Йф Йф
изводных т3- и -г1- является то, что они являются проекциями дх ду г
вектора уф на оси координат.
Непосредственный аналитический смысл, зависящий только от
вида скалярного поля ф(х, у), имеет в любой точке поля вектор уф,
дф йф , .
в то время как его проекции и зависят еще от выбора осей
X к Y. У
13
Следовательно, дифференцирование скалярных полей с неизбежностью приводит
нас к необходимости выйти из класса скалярных функций в более широкий
класс функций-векторных функций.
Векторы, т. е. направленные отрезки, представляют собой определенные
геометрические объекты. Как известно из аналитической геометрии, векторы
можно складывать (по правилу параллелограмма), умножать на числа,
умножать друг на друга скалярно и векторно, производить над ними также
другие геометрические операции. Последние значительно упрощаются и
сводятся к алгебраическим операциям, если воспользоваться методом
координат и каждый вектор а характеризовать его скалярными проекциями ах
и ау на оси X и Y. Правда, эти проекции, как мы уже отмечали, не являются
истинными скалярами, ибо, выбрав новые оси координат X' и Y',
мы для характеристики того же вектора а получим новые проекции ах и ау,
связанные со старыми ах и ау известными из аналитической геометрии
формулами:
ax = axcos(x^x) + ctycos(x\'y), ) ау = ах cos (/Гх) + ау cos (у', у). )
Но так или иначе, выбрав определенную систему коор-
динат и сопоставляя каждому вектору а пару чисел ах и ау, мы получили
возможность различные геометрические действия с векторами выполнять с
помощью хорошо
известных операций над числами. Так, например, суммой ->¦ -> -> двух
векторов а и b называется вектор с, проекции которого равны суммам
соответствующих проекций слагаемых:
сх = ах-\-Ьх, су = ау-\-Ьу\ произведением вектора а на число X называется
новый вектор, проекции которого равны Хах и Хау и т. п.
Однако дальнейшее развитие векторного исчисления показало, что введение
скалярных проекций, определяющих произвольный вектор, позволяет сверх
этого более глубоко взглянуть на векторные величины, рассматривая их не
как геометрические, а как некоторые алгебраические объекты. А именно,
можно дать следующее аналитическое (алгебраическое) определение вектора.
Вектором называется некоторая величина а, характеризуемая в каждой
системе координат XOY двумя скалярами ах и ац, которые при переходе к
другой системе
14
координат X'OY' преобразуются с помощью формул (8) в новые скаляры ах и
а'у.
Конечно, это определение векторной величины значительно сложнее
геометрического, но оно имеет три важных преимущества.
Во-первых, е его помощью легко обобщить понятие вектора не только на
реальное трехмерное пространство, но и на вещественные и комплексные
пространства любого числа измерений. Такое обобщение, как мы увидим ниже,
оказалось весьма плодотворным для современной физики.
Во-вторых, определив вектор аналитически, мы можем отвлечься от его
непосредственного образа, абстрагироваться от наглядных представлений о
направленном отрезке и рассматривать его как величину произвольной
физической природы. Так, например, известно, что любой цвет можно
получить путем смешения в определенных пропорциях трех красок основных
цветов (красного, зеленого и синего). Поэтому каждый цвет можно
