Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
назвать тензором инерции.
Прежде чем перейти к подробному анализу свойств тензора инерции, покажем,
что он действительно является тензором. Для этого рассмотрим матрицу:
2 Щ (УI + 4) - 2 ткЧУк - 2 тЛ2*
7 = -2 ткУкЧ 2 тк (4 + 4) - 2 ткУ^к . - 2 т*2л - 2 ткЧУк 2 тк (4 + у
I)
(19)
№'вр = у ((r), /<*>)•
(20)
y* + z* R = - ух
- ху - XZ
хг + г2 - у г
- zy *2 + г/2
- zx
46
Она, очевидно, представляет собой разность двух тензоров: единичного
тензора I, умноженного на квадрат радиус-вектора r2 = x2-j-t/2 + zz, и
симметричной диады
{г, г\. Следовательно, по правилам тензорной алгебры величина R
представляет собой тензор:
R = r4-{r, г}.
Несложно проверить далее, что матрица / является суммой произведений масс
(скаляров) каждой точки тела на
тензоры Rk для этих точек, т. е. / = 2 Щ Rk• Отсюда
к
вытекает, что I есть тензорная величина.
Перейдем теперь к анализу матрицы компонентов(19), характеризующей тензор
инерции I. Его диагональные элементы I хх, I и Izz являются моментами
относительно осей х, у и г. Недиагональные элементы /ху, Ixz и I z
называют полярными или центробежными моментами инерции, однако они не
имеют простого физического смысла.
Тензор инерции, как и всякий симметричный тензор, имеет три взаимно
перпендикулярные главные оси инерции, которым соответствуют главные
моменты инерции /ш /22, /33.
В системе главных осей тензор инерции принимает диагональный вид:
/и 0 0
7 = 0 ^22 0
0 0 ^33
При этом вращательная кинетическая энергия выражается весьма просто:
^вр = ~2 (^И(r)! "Ь ^ 22(r)2+ 133(r)з) •
Симметричному тензору I сопоставляют эллипсоид инер-
ции (г, I r) = 1, уравнение которого в главных осях имеет вид:
/цх2+/22у2 + /33г2 = 1. (21)
(Это уравнение всегда определяет именно эллипсоид, ибо, как ясно из
физических соображений, моменты инерции /и, /22 и /33 не могут быть
отрицательными.)
.47
Вид эллипсоида инерции зависит от распределения масс в теле; он отсекает
на произвольной оси U отрезки, равные 1/К/" (где 1ии - момент инерции
относительно оси U).
Если тело обладает определенной симметрией в распределении масс, то такой
же симметрией, очевидно, должен обладать и эллипсоид инерции. Это
обстоятельство весьма облегчает нахождение вида эллипсоида инерции.
Допустим, что тело обладает плоскостью симметрии, совпадающей с
координатной плоскостью YOZ. Тогда ясно, что ось X является одной из
главных осей инерции, а две другие лежат в указанной плоскости. Если тело
обладает осью симметрии, то она является также осью эллипсоида и,
следовательно, главной осью инерции. Легко видеть, что если порядок оси
симметрии, скажем оси Z, выше второго, то в качестве остальных двух
главных осей можно взять любые два взаимно перпендикулярных направления в
плоскости XOY. При этом моменты 1ХХ и 1уу равны между собой.
Действительно, если порядок симметрии оси равен 4 (рис. 12, а), то при
повороте параллелепипеда на угол 90° эллипсоид инерции не должен
измениться -он является эллипсоидом вращения. Отсюда следует равенство
двух его полуосей (рис. 12,6).
48
С помощью таких же рас-суждений нетрудно показать, что для куба эллипсоид
инерции имеет (рис. 13).
форму шара
§ 5. Скалярный и векторный инварианты тензора-производной векторного поля
Как мы знаем, полной дифференциальной характеристикой векторного поля
а (г) является тензорное поле
-{г). Нооказывается, что бы-dr
строту изменения векторной
функции а можно еще определить (хотя и не так строго) с помощью
инвариантов тен-
1 1 /
1 1 1 ) / /
Рис. 13
зора -. Тем самым можно
dr
вместо тензорных использовать более простые величины - скалярные и
векторные.
Математический аппарат описания аналитических свойств векторных полей
получил название векторного анализа. Запишем матрицу компонентов тензора-
производной:
da -> dr
Первый инвариант этого тензора, равный сумме его диагональных элементов,
называется дивергенцией (расходи-
->
мостью) векторной функции a(JCi z):
дах , дау
дах дах дах
дх ду дг
дау дау дау
дх ду дг
даг даг <к
дх ду дг
diva:
да.
(22)
дх ду дг
Чтобы познакомиться со вторым используемым в вектор-
49
da
ном анализе инвариантом тензора , разложим этот тен-
dr
зор на симметричную и антисимметричную части:
da
dr
= 5 + Л.
Выпишем в явном виде матрицу антисимметричного тензора:
A=i
о
/ дау dax \
\ дх ду )
да
/ дах дау \ / дах да2 \
\ ду дх ) \ дг дх )
да "
( дау daz ^
\ дг ду )
/да2 дах\ / да2 дау\
\дх ~ дг ) \ ду ~ dz )
(23)
Будучи антисимметричным, тензор А определяется по существу тремя
скалярными компонентами. Поскольку и векторные величины в трехмерном
пространстве характеризуются тремя компонентами, то возникает
естественный вопрос: нельзя ли антисимметричной части тензора-производной
сопоставить некий вектор? Что бы это было возможно, компоненты тензора и
компоненты вектора должны при повороте осей координат меняться одинаковым
образом. Оказывается, что такое явление действительно имеет место.
Итак, антисимметричному тензору А можно сопоставить соответствующий
