Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Несис Е.И. -> "Методы математической физики" -> 18

Методы математической физики - Несис Е.И.

Несис Е.И. Методы математической физики — М.: Просвещение, 1977. — 199 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfifiki1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 56 >> Следующая

grad ф = уф- (36)
-
Дивергенцию векторного поля а
"*• дах . дау . да, dlVa = ^ + ^- + ^ можно рассматривать как скалярное
произведение векто-ров у на вектор а:
diva=(y, а). (37)
Ротор векторного поля а
i j k
д_ д_ д_ дх ду дг й* й й~
rot а =
совпадает с векторным произведением оператора у на а:
rot а = [у, а]. (38)
Наконец, тензорное произведение у на вектор а представляет собой
транспонированный тензор-производную:
fda\ \ d2 )
{V.a} =
дах дОу да2
дх дх дх
дах дау даг
ду ду ду
дах дОу даг
дг дг дг
(39)
Преимущество пользования оператором Гамильтона заключается в том, что,
выполняя различные другие дифференциальные действия над скалярными и
векторными функциями, можно рассматривать у формально как обычный вектор
и применять к нему правила векторной алгебры. Нужно только учитывать, что
у есть дифференциальный оператор, обладающий свойствами производной.
Отсюда вытекает ряд следствий.
62
1. Так как оператор у является линейным, то результат его применения к
сумме двух функций равен сумме произведений оператора у на каждое
слагаемое:
у (Ф + ф) = УФ +уф, или grad (ф + ф) = grad ф +grad ф,
-> -> -> -> -> -> -> -> (у, a + ft) = (y, а)+(у, Ь), или div (а + ft) =
div а + div Ь,
-> -> -> -> -> -> -> ->
[у, a + ft] = [y, а] + [у, ft], или rot (a-\-b) = rot а + rot ft.
2. Поскольку у-дифференциальный оператор, то в
тех случаях, когда функции ф или а являются постоян--> ->
ными, уф = 0, (у, а) = 0, [у,а] = 0.
3. Результат действия дифференциального оператора у на произведение двух
скалярных функций или на произведение скалярной и векторной функций равен
сумме произведений каждого v множителя на результат применения оператора
ко второму сомножителю:
V (фф) = Ф- УФ + ф- УФ. или grad (фф) = фgгad ф + ф grad ф, (у, фа) = (а,
уф) + Ф (V, а), или div (фа) = (а, grad ф) +
-t^diva, (40)
-> -> -> ->
[у, фа] = ф[у, а] + [уф, а], или rot (фа) =
-> ->
= ф rot а + [grad ф, а],
С помощью оператора Гамильтона легко вычисляются различные вторые
производные скалярных и векторных функций.
Скалярное поле ф (г) имеет одну производную - век-
-> ->
тор grad9- Векторное же поле а (г) характеризуется дву-
мя первыми производными: скалярной diva и векторной ->
rot а. Следовательно, в математической теории поля ветре-
-> ->
чаются три первые производные: gгаdф, diva, rota.
Легко видеть, что скалярное поле div а и векторные по-
->
ля grad ф и rota характеризуются пятью вторыми про-
-> -У
изводными: div grad ф, rot grad ф, grad div a, div rot а,
rot rot а. Определим каждую из этих вторых производных с помощью
оператора у,
63
1. Величину div grad ф мы получаем в результате двухкратного
скалярного применения оператора у: div grad ф = (у, уФ) = (у, у)ф = у2ф.
По правилам возведения в квадрат вектора получаем
для у2:
f~t д . д Т д \2 д2 , д2 , V =(.г Гх+ 1 д~у + кТг) =дГ2 + др +
дг2
Оператор V2 широко применяется в математической физике и называется
оператором Лапласа или лапласианом. Он обозначается греческой буквой Д
(дельта). Итак,
div grad ф = Дф. (41)
2. Для получения величины rot grad ф необходимо применить оператор V
сначала скалярно, и затем век-торно:
rot grad ф = [ V, Уф].
Вынося скалярный множитель ф за скобки и учитывая, что векторное
произведение двух одинаковых векторов всегда равно нулю, получим:
Lv. V]<P = 0-
Следовательно, имеет место тождественное равенство
rot grad ф= 0, (42)
означающее, что потенциальное поле не имеет вихрей.
*->
3. Величина div rot а представляет собой смешанное произведение трех
сомножителей:
div rot а = (V, [V. а]).
Производя циклическую перестановку, получаем:
(V, [V, a]) = ([V, V], а) = 0.
*->
Итак, divrota всегда равна нулю:
div rot a = 0. (43)
Физический смысл этого тождества заключается в том, что вихревое поле не
имеет источников (векторные линии не имеют ни начала ни конца, они либо
замкнуты, либо уходят в бесконечность).
4. Вторая производная rot rot а может быть представлена как двойное
векторное произведение:
rotrota = [V, [V, a]].
64
По правилам векторного умножения
[V, [V, а]]= V(V, а) - (V, V)a.
Значит,
-> -> -> rot rota = grad diva - Да. (44)
5. Из предыдущей формулы получаем выражение для
->
второй производной grad diva:
"> "> "> grad diva = rot rota + Да. (45)
§ 9. Формулы Грина
В качестве приложений полученных в предыдущем параграфе результатов
выведем часто применяемые в математической физике так называемые формулы
Грина.
Для любого векторного поля согласно теореме Гаусса-Остроградского имеет
место равенство:
Jdiva• dV = апds. (28)
V s
Положим теперь, что
а (г) = ф (r)-b (г), (46)
где ф и b - некоторые скалярная и векторная функции координат.
Согласно соотношению (40)
div (фb) - (b, grad ф) + Ф div b.
-> ->
Сделаем еще предположение, что векторное поле b (г) потенциально, т. е.
что
&(r) = grad^(r). (46')
Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем:
divа= div (ф grad ф) = (grad ф, grad ф) + ф • Дф. (47) Поскольку согласно
(46) и (46') a = фgradф, то
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed