Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
четырехугольник ABCD, стороны которого являются отрезками координатных
линий q3 и q3. Ясно, что нормаль к этой площадке направлена вдоль qt
(рис. 29). Согласно (10)
da = H3H3dq2dq3.
Что касается циркуляции по периметру четырехугольника
dT = (j) atdl, дь
то для ее определения необходимо вычислить криволинейный интеграл по
каждой из четырех сторон прямоугольника:
В С D А
#-S + S+S+S-
ДГ A BCD
При этом нужно учесть, во-первых, что длина
84
стороны прямоугольника согласно (8)равна ¦dli = Hl'dq;l, и, в о-в т о р ы
х, что в данном случае рассматривается двумерное векторное поле в точках
координатной поверхности
q3 = const, так что a = a(q3f q3). Следовательно, в
\atdl = a2(q3)H3(q3)dq3, где а2 = <*,,,
А
И
А
\aldl = - a3(q2)H3(qi)dq3.
D
Аналогично для остальных двух сторон: с
\atdl = а3 (<72 + dq2) Hs(q2 + dq2) dq3, в
D
J cifdl = fl2 (Яз "Ь dq3) H3 (q3 -f- dq3) dq3.
n
Складывая второй интеграл с третьим и четвертый с первым и пользуясь
формулой Тейлора, получаем:
dr = [к {азНз)~к №)]dq2 dq°- (29)
Подставляя значения ФГ и da в (28), найдем для проекции ротора на
направление qt:
'",Г'-ттк№г-я-%г} ¦ <3°>
Теперь понятно, что полное выражение вихря через его проекции на
локальные орты криволинейной системы координат имеет вид:
1 1д(а3Н3) д(а2Н2)\ ¦
(tm)ы==щт; \~w2-15Г~Г'+
j 1 \д(аШ д(а3Н3)\ ? .
^ Я3Ях ) dqt dq, Г*
I 1 fd (a2H 2) d (aiHj) | ^
'^*Я1Я2 \ dqt dq3 / 3' ^ '
Примеры.
1. Написать выражения дифференциальных операций grad и, -+ -^
div a, rot а и Див цилиндрической системе координат р, q>,
г.
Как было показано в § 2, коэффициенты Лямэ в рас-
сматриваемом случае имеют следующие значения: #р = 1,
85
Я", = р, Hz- 1. Поэтому согласно формуле (22)
, ди , 1 ди . ди
gradM=^ei+-^e2+^e3. (32)
Пользуясь формулой (25), получаем выражение для дивергенции: , ->
I 1 я д. I
'а = 7{^(рар,+^ф}+aF • (33)
Точно так же, подставляя в (27) значения коэффициентов Лямэ, получим:
. 1 д ( ди\ . 1 д2и , д2и
п дс ( Р дс ) 7 п2 2 + Д72 • (34)
р ф V ф / Р2 дф2_г dz2
Наконец, написав формулу (30) в применении к цилиндрическим координатам и
подставив в нее значения коэффициентов Лямэ, получим выражения для
проекций вихря:
rot rot
Г01Р a - p дф дг ' ГСПч> a ~ дг dp •
-+ I (d (par.) da")
(35)
-> ->
2. Написать выражения для grad и, diva, rota и Аи в сферической
системе координат г, 0, ср.
Учитывая, что Яг=1, Не = г и Brp = rs\п0 и поступая так же, как в
предыдущем примере, получаем выражения для дифференциальных операций в
сферической системе координат.
Градиент скалярной функции выразится формулой:
, ди -* . 1 ди -* 1 ди -*
grad ы = - б1 + у + _ _ бз, (36)
дивергенция векторной функции-формулой:
div " = Ж Гг <r*a'> + ТТПГе Ш(sin0fl0) + 7Ж0 • (3?)
Подставляя в (37) вместо а соответствующие проекции (grad и)?., получаем
лапласиан скалярной функции:
. 1 д ( " ди \ 1 д (-ади\ 1 д2ср
Дм-7^ТгУ" дг J+л2 sin 0д0 V о0 J+/-2sin2ed(p2, (38^
Для проекций вихря получаются следующие формулы:
rot^ = 7iTF?
д , .
Ж (а<р sin в)"^
Часть вторая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Глава I.
ВЫВОД ОСНОВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ ЭТИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Поперечные колебания струны. Волновое уравнение
Струна-это тонкая, гибкая натянутая нить, закрепленная в двух точках.
Если струну отклонить от положения равновесия (которое на рисунке 30, а
совпадает с осью X), то она будет совершать поперечные колебания. Будем
обозначать смещение точек струны через и. Ясно, что и является функцией
координаты х и времени t:
Задача состоит в том, чтобы найти положение струны в любой момент
времени, т. е. найти явный вид функции (1). Мы сейчас покажем, что при
малых отклонениях функция и (х, t) удовлетворяет определенному линейному
дифференциальному уравнению в частных производных. Выделим элемент струны
ds, который в начальный момент имел длину dx (рис. 30, б). По формуле
квадрата длины элемента дуги имеем: и\
ы = ы(х, t).
(1)
ds2 = dx2-j-du2
а
о
т
Так как мы рассматриваем малые колебания,
ди ^ ,
для которых ^<5? 1, ТО
под корнем можно пренебречь квадратом про-
х x+ctx Рис. 30
X
87
изводной и в первом приближении считать, что dsmdx. Поскольку в этом
приближении струна не является растяжимой, мы вправе считать натяжение
струны Т неизменным по величине.
Применим теперь к рассматриваемому элементу струны второй закон Ньютона:
произведение массы dm = p-dx
1 " . д2и
(р-линейная плотность) на ускорение равно сумме
сил, приложенных к элементу. Полагая струну очень
тонкой, можно пренебречь весом любого ее элемента и
-> ->
учитывать только силы натяжения 7\ и Тг, действующие с обеих сторон. При
этом нужно иметь в виду, что хотя натяжение вдоль струны по модулю
постоянно, оно в отклоненной струне меняется по направлению от точки к
точке.
Далее, так как колебания являются поперечными (вдоль оси U), то нас
интересует только сумма вертикальных проекций сил (сумма горизонтальных
составляющих, очевидно, равна нулю):
