Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для малых колебаний углы 0! и 02 малы и можно приближенно (с точностью до
малых второго порядка) принять
Следовательно, правая часть уравнения (2) сводится к выражению
р dx -gj2- = T2a + Tla.
(2)
Легко видеть, что
Т1а = - Т sin 0Х и Тга = Т sin 02.
sin 0t да tg 0г = (^jx и sin 02 да tg 02 = ^
x + dx
Т 4-Т = Т
1 2а ~ 1 la 1
Разложим теперь в ряд Тейлора
Тогда с точностью до малых второго порядка
д2а
-Подставляя (3) в (2), приходим
к равенству
дги гр дги ...
Введя обозначение
f = v\ (5)
получаем уравнение свободных Рис. 31
колебаний струны.
^ = (I)
дt* дхг ' у '
Как всегда в механике, одного лишь уравнения движения (I) для определения
формы струны в любой момент времени недостаточно. Необходимо еще задать
начальные условия, т. е. положение ее точек и их скорости в момент t = 0:
иМ=ф(*), м
<=0 =*(*). (6)
dt
Кроме того, нужно еще указать, что происходит на концах струны, т. е.
задать граничные условия. Для струны, закрепленной с обоих концов,
граничные условия имеют вид:
и !*_=<) = 0. и [*=/ = 0. (7)
Таким образом, колебания струны описываются одномерным волновым
уравнением (I). Если поперечные колебания совершает натянутая упругая
пленка (мембрана) (рис. 31), то соответствующее волновое уравнение
является двумерным:
dt2 \дх*^ду*) • ^ '
При этом начальные условия, определяющие положения и скорости точек
мембраны, имеют вид:
U |f=o - Ф (х, у), % t = 0=$(x> у)-
Что касается граничного условия, то, поскольку мембрана вдоль контура L
обычно закреплена, оно принимает форму:
и \L =0.
Еще более общий случай мы получаем, когда колебания (продольные)
совершают частицы сплошной среды.
89
Это - случай акустических колебаний. Дифференциальное уравнение для таких
колебаний становится трехмерным волновым уравнением:
д2и (дги д-и д2и\ /т,;.
dt2 ~V {дх*+ ду2^дг2 ) ' ^ ^
или (в сокращенной записи):
д2и .
_ = у2-А и.
dt2
Здесь и (х, у, z, t) - потенциал скоростей движения точек среды, v-
скорость звука в данной среде.
Начальные условия записывают в такой форме:
и|/=о =ф(*. У, г), jt 1=о =ф(х, у, г).
Граничное же условие обычно выражает тот факт, что на границе с твердой
непроницаемой поверхностью S сосуда, в котором находится упругая среда,
нормальная составляющая скорости частиц равна нулю:
М =о.
on |s
Следует отметить, что трехмерным волновым уравнением описываются не
только акустические, но и электромагнитные волны, распространяющиеся в
вакууме. А именно, для напряженностей электрического и магнитного полей
имеют место уравнения:
а? 1 д2Ё " с2 dt2 '
где с-скорость света в вакууме.
§ 2. Уравнение теплопроводности
Если температура в различных точках тела неодинакова, то в нем происходит
перераспределение тепла в соответствии с эмпирическим законом Фурье,
согласно которому количество тепла dQ, протекающее через малую площадку с
площадью dS за короткий промежуток времени, прямо пропорционально площади
dS, длительности
90
промежутка dt и производной от температуры по нормали к площадке:
dQ = - k^-dSdt, (8)
где k - коэффициент (внутренней) теплопроводности вещества.
Введем понятие вектора плотности теплового пото-
-*¦
ка q, совпадающего по направлению с градиентом температуры, а по модулю
равный количеству тепла, протекающего за одну секунду через единичную
площадку, расположенную перпендикулярно к градиенту температуры. Тогда
закон теплопроводности принимает векторную форму:
Происхождение знака минус в (8) и (9) понятно: градиент направлен в
сторону возрастания температуры, а тепло течет к более холодным точкам
тела.
Перейдем теперь к выводу дифференциального уравнения распространения
тепла. Пусть имеется однородное тело, температура внутри которого
является функцией координат х, у, г и времени t:
Для общности предположим, что внутри тела существуют источники тепла,
мощность которых равна Q(x, у, z, t). Выделим в теле некоторый малый
объем AV и составим его тепловой баланс. За время dt в нем выделится
количество теплоты:
Часть этого тепла AQ' идет на повышение температуры элемента АУ, а
остальная доля AQ" из-за теплопроводности уйдет в окружающие слои тела.
Сначала определим AQ'. Количество тепла, необходимое для повышения
температуры бесконечно малого элемента dV от Т (t) до T(t + dt), равно:
где с-удельная теплоемкость тела, р - его плотность.
q = - fcgrad Т.
(9)
Т = Т(х, у, z, t).
(Ю)
dQ'= cpdV[Т (t + dt) - Т (t)] = cp^-dtdV,
91
Интегрируя это равенство по объему AF, получим: AQ' = dt J cp§dV. (11)
ДУ
Чтобы определить AQ", учтем, что за одну секунду через поверхность AS,
ограничивающую объем AV, протекает количество теплоты
§qndS.
ДS
Поэтому
A Q"=dt§qndS. (12)
ДS
Приравнивая AQ сумме AQ' и AQ", получаем:
J QdV= J CpdLdV+§ qndS. (13)
ДУ ДУ AS
В этом равенстве стоят интегралы по разным переменным. Поэтому применим к
последнему из них теорему Остр огр адского-Га усс а:
(f qndS= Г div qdV. д s дф
Тогда равенство (13) примет вид:
J Cpd?dV+ J divqdV^ J QdV, ду ду ду
или
J Гер ^- + div q- Q j dV = 0.
