Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Несис Е.И. -> "Методы математической физики" -> 30

Методы математической физики - Несис Е.И.

Несис Е.И. Методы математической физики — М.: Просвещение, 1977. — 199 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfifiki1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 56 >> Следующая

вдоль струны вправо со скоростью v. Перемещение в пространстве некоторого
переменного (чаще всего периодического) процесса с постоянной скоростью
представляет собой распространение прямой волны.
Аналогично решение U2= Ф (x-{-vt) описывает обратную волну,
распространяющуюся с той же скоростью вдоль струны влево. Следовательно,
решение (33') представляет собой сумму (сунерпозицию) прямой и обратной
волн.
ГО6
Попытаемся теперь выбрать произвольные функции' Ф и F так, чтобы
выполнялись начальные условия (36). Подставляя в (33') значение ^ = 0, мы
в соответствии с (36) найдем, что
Ф(*Н-Т-(*)-=qx(x). (37)
Если, же подставить значение ?=0 в производную от (33'), то получим:
v [Ф' (х) - F' (х)] = ф (х).
(38)
Равенства (37) и (38) образуют систему уравнении- с двумя неизвестными-
функциями Ф (х) и F (х). Чтобы определить их, продифференцируем (37у и
сопоставим с (38):
(37')
Ф?(*)-^(*)"=Т-*(*)- <38')
Отсюда легко находим, что
ф' (х) =4 [сР' 1], F' (*)=4 |у -4-ф] . (щ
Интегрируя эти равенства, установим' явный вид фуни" ций Ф'(х) и F(x).
Таким образом, решение Даигаамбера задачи Коши для бесконечной струны
принимает следую* щую форму:
x+vt
U(x, t)^{[4>(x + vt} + 4 (x-vt)]}'-+-^ j t(x)tk\ (40)
x- vt
Выясним физический смысл этого решения на двух частных случаях.
1. Пусть начальные скорости точек струны равны нулю (ф = 0), а
начальное смещение имеют только точки на участке (- /, /), как показано
на рисунке 32, а:
Ф (*) = 0, если' | х | >
их
Тис 32
Решение (40) принимает вид:
"(*, 0 =-^[ф(*-иО + ФСк+иО]. (41)
т. е. представляет собой сумму двух волн, распространяющихся со скоростью
v вправо и влево, амплитуды которых
равны половине амплитуды начального смещения ср (х).
Поэтому, чтобы построить форму струны в некоторый момент времени / > 0,
нужно график половинного смещения сдвинуть вправо и влево на симметричные
отрезки vt и графически сложить эти кривые (рис. 32, в).
После момента t=-~ распространяющиеся в противоположные стороны
"половинные" волны уже не накладываются друг на друга и расходятся в
разные стороны (рис. 32, в, г).
Последим теперь за поведением точки струны, не получившей начального
смещения (координата которой х > /
или х <-I). Ясно, что до тех пор, пока / < аргумент функции <р (х-vt)
будет больше I, так что смещение равно нулю (и - 0) и Точка находится в
покое. Это будет
X I
продолжаться до момента tl--^~, когда передний фронт
волны достигнет точки х. Затем, в момент когда
задний фронт достигнет точки х, эта точка вновь возвращается в состояние
покоя и будет далее оставаться в покое все время. Между моментами t± и /2
волна проходит через точ$у х, заставляя ее отклоняться.
2. Пусть начальное смещение ср = 0, а функция ф (х) отлична от нуля в
интервале (-I, I). Этот случай реализуется в результате удара по струне
молоточка ширины 21 (рис. 33, а).
В этом случае решение (41) имеет следующий вид:
x+v t
и(х, 0-=-кг I $(z)dz- (42>
x-vt
и (х, t)=sh(x + vt)-k(x-vt). (43)
108
Эбозначим С ф (г) dz "= % (х). Тогда
Таким образом, и в этом случае по струне идут две волны: прямая и
обратная.
В момент t = 0 нижний и верхний пределы интегрирования в (42) совпадают.
Поэтому ы = 0 (рис. 33, в). С ростом t интервал интегрирования, равный
2vt, увеличивается, а вместе с ним увеличивается и величина интеграла
x+vt
J (z) dz (рис. 33, в). Когда
x-vt
t достигает значения l/v, точ- ' ка х = 0 испытывает наибольшее
отклонение, равное (рис. 33, г)
i
z)dz = h.
-i
В дальнейшем с ростом t величина этого отклонения больше не меняется. Все
другие точки струны достигают этого максимального смещения в более
поздние моменты времени:
,=[*ш
ч\ '
f(x)
" шип .
¦L 1 1 ! и t'O ! А... J 0 J? 1 1 ! 1 " 1
¦i \ 1 1 1 * 1 ! * ' 1 1 1 "
~?ti * i i ! ! з. 'V 1 2 1 1 I w I
-гг | 1 1 21 х 1 1 1 1
1 S ' ~г1 1 ! ! h * 1 2 1 1
/Г" е 1-L
Рис. 33
после чего они как бы "застывают" (рис. 33, д, ё).
Глава II.
НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПУТЕМ
РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
В этой главе мы рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих сущность одного
из простейших способов решения уравнений в частных производных-метода
Фурье.
109
§ 1. Охлаждение стержня конечной длины
Пусть концы тонкого теплопроводного стержня длиной I погружены в тающий
лед и температура стержня в начальный момент времени (/=0) зависит от его
координат по некоторому закону Т = f (х). Найдем температуру в любой
точке стержня в произвольный момент времени.
Сформулируем проблему аналитически.
Так как в стержне нет тепловыделения и тепло распространяется
только вдоль стержня, т. е. по оси X, то
уравнение теплопроводности принимает вид:
Ф_дГ___с^Г_ ...
k dt дх2 ' ' '
Начальное условие запишется так:
Т |,=0 = Ф (*)• (2)
Граничных условий должно быть два, ибо уравнение содержит вторую
производную по переменной х\ они, очевидно, сводятся к равенствам:
7'1,=.=0> Т |Л=г = 0. (3)
Итак, нужно найти функцию Т = Т (х, t), удовлетворяющую уравнению (1) и
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed