Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Несис Е.И. -> "Методы математической физики" -> 38

Методы математической физики - Несис Е.И.

Несис Е.И. Методы математической физики — М.: Просвещение, 1977. — 199 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfifiki1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 56 >> Следующая

y(x) = C1In(x) + C2Yn(x). (21)
В следующем параграфе рассматривается конкретный пример, в котором
используются функции Бесселя.
§ 3. Решение задачи Дирихле для цилиндра
Пусть дан цилиндр высоты h и радиуса а (рис. 40), на боковой поверхности
и верхнем торце которого температура равна нулю, а на нижнем торце
поддерживается постоянная температура по закону T = F(p). Найдем
распределение температуры в таком цилиндре.
Чтобы сформулировать задачу аналитически, примем во внимание, что из ее
условий вытекает симметричность распределения температуры дТ
по углу <р. Поэтому и уравнение Лапласа упрощается:
р аР V
дт\ . д*т п рар )^'дг2
(22)
Граничные условия выражаются так: ^=* = 0.
|*=ft=°> (23)
Лг=о = ^(р). (24)
Согласно методу Фурье представим искомую функцию в виде произведения:
Т(р, z) = R (р) Z (г).
(25)
Подставив это произведение в исходное уравнение (22), имеем:
zJTpW) + "z° = °-
Деля это равенство на RZ и перенося второе слагаемое вправо, получаем:
Z"
Z(z)'
Рис. 42
Приравнивая, как обычно, обе части равенства постоянной -А2, приходим к
двум
130
обыкновенным дифференциальным уравнениям:
Z"-k2Z (z) = 0, (26)
ll(p/?') + W? = 0 (27)
Общий интеграл уравнения (26) записывается сразу:
Z(z) - A chAz + Ssh кг. (28)
Что касается (27), то сно является уравнением Бесселя нулевого порядка от
независимой переменной (А,р):
Я"+-^ Я' + А.гЯ = 0. (27')
Его общее решение согласно (21) имеет вид:
Л(р) = С/0(Хр)+ОУ'о(Хр). (29)
Из условия конечности решения во всех точках цилиндра следует,
что Ъ = 0. В противном случае для точек на оси г, т.
е. при р = 0,
мы бы получили R->-оо (так как | Y0 (0) | = оо).
Итак,
Я(р) = С/0(А.р). (29')
Потребуем теперь, чтобы на поверхности цилиндра 7?(а) = 0:
7"(Ад) = 0. (30)
Отсюда находим параметр к:
Е°
ка=1°п, или , (31)
где |п - корни бесселевой функции нулевого порядка. Подставляя (31) в
(29), получаем:
Я"(р) = Ся/0(|"7г). (3°)
Умножая (32) на (28), находим множество функций:
Г"(р, Z)=[Alnch(iS-2-)+iV"sh(i"^)J /o(tt--j). С")
удовлетворяющих уравнению (22) и первому из граничных условий (23).
Чтобы удовлетворить еще второму граничному условию (Т |г-л=0), необходимо
положить
M"ch(iJlA) + lV"sh(ES-j)=0, (34)
Отсюда
Л'" = Л4П cth . (35)
Подставляя (35) в (33) и учтя формулу для гиперболического синуса
137
разности двух углов, мы приходим к соотношению:
(36)
" = Л*"-Ц ."J-/"
sh (й4
Нам осталось еще удовлетворить граничному условию (24). Для этого
составим из решений Тп бесконечную сумму:
г(М)=?г.-?".-\."У'. №) m
ч=1 я= 1 shU" -]
и потребуем, чтобы при z = 0 она сходилась к F (р):
ОС
Г (Р. 0) = ? Л4"/0 (й ¦? ) (Р). (38)
Л= 1 '
Задача теперь свелась к разложению функции F (р) в ряд по бесселевым
функциям нулевого порядка.
В теории цилиндрических функций доказывается, что две различные функции
одного порядка обобщенно ортогональны, т. е.
ip/° (g"4) ^(^тг)dp=0
о
при тф п. Поэтому любую функцию F (р) можно разложить в ряд Фурье-
Бесселя:
оо
^(Р)=? ^п/о(й?) • (39)
Л=1
При этом коэффициенты Фурье - Бесселя Fn вычисляются по формуле
а
^"=а2 [/• i№ j PF Ф) /0 (*" ^) dP' <40)
Таким образом, полагая Mn-Fnf получаем окончательное решение задачи в
виде суммы ряда:
(r) sh(^~r~) / \
138
Глава IV.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
КООРДИНАТ
§ 1. Решение уравнения Лапласа в сферических координатах. Уравнение
Лежандра
Уравнение Лапласа в координатах (г, 0, <р) записывается так:
ли • & { ?ди\ I * & ( • adu\ , 1 дъи п
AU ==7r57v д?) + r2sine5e(sin dej+r2sin20^ -°-

Следуя методу Фурье, ищем решение этого уравнения в виде произведения:
и (г, 0, <р) = Д(г)У(0, ф). (2)
Подставляем (2) в (1), получаем:
у d / 9П/Ч , R I 1 д f ¦ dY \ . 1 d*Y \ "
Г2 dr(r R )+ r2 ^sine d0 (Sln d0 у sin20 дф2 /
Умножим это равенство на r2/RY, приводим его к виду:
Цт-тм- <3>
где А-так называемый оператор Лежандра, равный
Л= - {sirTod0 (sin0d0) +sln20d$2'} '
Приравнивая обе части равенства (3) постоянной X, приходим к двум
уравнениям:
*-(r*R')-XR= 0, (5)
A.Y-XY = 0. (6)
Уравнение (6) в развернутом виде выглядит так:
(6'>
Как видно, это уравнение в частных производных. Поэтому вновь применим
метод Фурье.
Представим Y (0, <р) в виде произведения:
К = К (0) Ф (ф) (7)
139
и подставим это выражение в (6'). Тогда
Ф d / . dV\ . V <*2Ф , .
sin 0 dQ \ dQ j ' sin2 0 cicp2
ФТ
•. r sin2 в
Умножив последнее равенство на --т-..- и разделив пе-
ременные, приходим к равенству:
sin в d . . , , . " " Ф"
у (sin) +^sin30 = - .
Приравнивая обе части постоянной - v2, получаем два обыкновенных
дифференциальных уравнения:
Ф" + г2Ф = 0, (8)
1 d/sin0y')+^--i)^(0) = O. (9)
sin0d0\ j \ sin20
Решение уравнения (8) нам удобнее представить в пэка-зательной форме:
Ф (<р) = AeIV<P + Be_lv<p. (10)
Так как обычно функция Ф(ф) удовлетворяет условию цикличности
Ф(Ф + 2я) = Ф(ф), то можно сделать вывод, что значение v не может быть
произвольным, а обязательно является целочисленным: v = /n= 1, 2, ... .
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 56 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed