КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
и, более того, существует всюду плотное на единичной окружности множество
чисел А, не являющихся корнями из 1, для которых найденный ряд расходится
[28]. Но все эти исключительные значения А можно очень хорошо приблизить
корнями из 1. Если же мы потребуем, чтобы число А удовлетворяло
бесконечному множеству неравенств
|А9 - 1| 1 < с0д2 при q = 1,2,...,
(1.5)
108
Быстро сходящийся метод итераций
то ряд для и будет сходиться в некоторой окрестности точки ( = 0. Это
утверждение и составляет содержание теоремы Зигеля.
Первоначальное доказательство Зигеля основано на тонких оценках, которые
учитывают, что число |А9 - 1|-1, как правило, намного меньше, чем c^q2.
Доказательство, которое мы приведем, носит гораздо более грубый характер
и приложимо к более трудным задачам небесной механики. В § 2 мы изложим
метод доказательства для более общей ситуации, чтобы выявить его основные
черты. Детальные оценки, необходимые для доказательства будут проведены в
§ 3.
Здесь же мы просто рассмотрим линеаризованное уравнение для (1.3). Пусть
и = w + ev. Продифференцировав (1.3) при е = 0, получим
Ж0=/'М0М О- (1-6)
Заменив f(z) и w(z) их линейными частями Az и ?, придем к уравнению
v(\() - \v(() = g((), (1.7)
где g(() - данный степенной ряд, не содержащий постоянного и линейного
членов. Это уравнение легко решить с помощью разложения в степенной ряд.
Если
Ж) = XgkCk'
к> 1
ТО
"к>=х: Жс'-
Если ряд g сходится при |?| < р, то \gu\ ^ ср~к, и в силу (1.5)
gk
\к - А
SC Cqср кк2,
следовательно, ряд для ц(?) также сходится при |?| < р. Уравнение (1.7)
соответствует линеаризованному уравнению при w = (, и, по-видимому,
безнадежно решать соответствующее уравнение, в котором левая часть (1.7)
заменена на выражения (1.6). Следовательно, в данном случае мы имеем дело
с ситуацией, в которой можно гарантировать существование решения
линеаризованного уравнения (1) (из введения к гл. 3) только, когда w -
тождественное преобразование.
Глава 3
109
§ 2. Построение итерационного процесса для проблем сопряженности
Задача, которая обсуждалась в § 1, состоит в нахождении отображения и,
для которого / о и = и о Ф или и-1 о / о и = Ф, где Ф(С) = = А?. Значок о
обозначает суперпозицию отображений. Введем оператор ^(/, и) = и-1 о f о
и. Заметим, что этот оператор удовлетворяет следующим соотношениям:
$(f,uov)=$($(f,u),v), ?(/,/)=/, (2.1)
если I - тождественное отображение.
Второй аргумент и оператора #(/, и) можно рассматривать как элемент
некоторой группы преобразований окрестности начала координат1. В нашем
случае мы имеем дело с конформными отображениями ( -> и((), для которых
и(0) = 0, и'(0) = 1. Наша задача состоит в решении относительно и
уравнения
Щ, ") = Ф (2.2)
с заданными функциями / = \z + ... и Ф =
Опишем некоторый итерационный процесс для построения решения, который
быстро сходится, по крайней мере с формальной точки зрения. Детальные
оценки будут проведены в § 3. Примем щ = I и предположим, что приближения
и±, ... , ип уже построены. Положим тогда
ип-(-1 - ип о г?, (2*3)
где v = I + v таково, что функциональное уравнение
$(f,unov)=& (2.4)
1 Подчеркнем, что во всех задачах, которые удается решить, используя
обратимость оператора &(и) только при и = wo? второй аргумент является
элементом некоторой "бесконечномерной группы Ли", действующей на первый
аргумент.
В. И. Арнольд в работе [29] получает новые результаты такого рода и
упоминает о некоторой общей теореме, охватывающей все известные ситуации.
Он отмечает, однако, трудности формулировки такой теоремы ввиду
отсутствия подходящих понятий "бесконечномерного многообразия" и
"бесконечномерной группы Ли". - Прим. перев.
110
Быстро сходящийся метод итераций
выполнено для членов, линейных относительно v и #(/, ип) - Ф. Более
точно, положим fn = #(/, ип), так что /" - Ф уже достаточно мало.
Согласно (2.1), уравнение (2.4) можно переписать в виде
?(/", v) = Ф. (2.5)
Формально разложим #(/, и) в ряд в точке (Ф, I) и заменим левую часть
уравнения (2.5) линейными членами этого разложения. Получим
5(Ф, I) + 3/(ф, I)(fn - Ф) + &,(ф, I)v = ф.
Из (2.1) следует, что #(Ф, I) = Ф и что
1)ё = lim |ШФ+?g, I) -?(ф, !)) = ё-
Е-ЬО С
Поэтому предыдущее уравнение можно записать в виде
С/п-ф)+Ыф, I)v = Q
ИЛИ
5'(ф, 1)д=Ф-и (2.6)
Здесь мы просто изменили обозначение $и на
?'(Ф, I)v = lim |(?(Ф, I + ev) - ?(Ф, I)).
е->-0 с
Следовательно, если уравнение (2.6) разрешимо относительно v, то это
уравнение вместе с уравнением (2.3) определяет следующее приближение
ип+1. По крайней мере с формальной точки зрения, этот процесс сходится
квадратично: если ошибка /" -Ф имеет в некоторой норме порядок еп, то из
(2.6) следует, что v = v - I также имеет порядок еп. Но, так как мы
определяем v таким образом, что уравнение (2.5) выполнено для членов,
линейных относительно /" - Ф и v, то ошибка в этом уравнении и,
следовательно, fn+i - Ф имеют порядок sn+i = е".
Проиллюстрируем этот процесс на простом примере. Пусть А - вещественная
