КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
хп. Более того, имеет место оценка
где 0 < 8 < h < 1, а = т + 1 > п, ас - положительная константа, зависящая
только от т, п, сп.
Доказательство.
Разлагая g в ряд Фурье, немедленно находим решение в виде
Здесь j/. - коэффициенты ряда Фурье функции g. Так как функция g
аналитична, коэффициенты 7^ убывают экспоненциально относительно \к\. В
самом деле, предположив, что при |1тж| < h sup |g| ^ 1, находим
так как в качестве области интегрирования можно взять область 1шж^ = а
при любом 0 > а > -h. Следовательно, ряд для v сходится, и при |1тж"| ^ h
- 8 имеет место оценка
sup Н ^с8 а sup |g|,
|Im ж I </i - 5
T
(6.7)
кф 0
Оценивая малые знаменатели по формуле (6.5), находим
н ^ с0^2\к\те~^Й ^ С18-Т~п.
- т-п
кф О
Глава 3
125
Отсюда следует несколько более слабая оценка, чем требуется в утверждении
леммы, а именно, оценка с а = т + п.
Вывод оценки, содержащейся в утверждении леммы, т. е. оценки с а = т + 1,
является более тонким делом и основан на том обстоятельстве, что среди
знаменателей (к, из) подавляющее большинство не являются малыми. Это
обстоятельство использовал Зигель в первоначальном доказательстве своей
теоремы (см. [27]) и В. И. Арнольд ([13], стр. 28-29). Для полноты мы
проведем это рассуждение в нашей ситуации и закончим доказательство леммы
I.1
Мы будем использовать норму |fc| = max.\kv\, которая, очевидно,
V
П
эквивалентна норме \к\ = Y1 \kv\, но более удобна для наших рассмот-
!/=1
рений.
Обозначим через K(v, г) множество ненулевых целочисленных векторов,
удовлетворяющих условиям |fc| = г и 2" < \(к, w)|-1 ^ 2г/+1, и пусть N =
N(v, г) - число элементов в множестве К(р, г). Покажем, что имеет место
неравенство
N(u, г) ^ c1rn~12~v{n~1)/T,
где ci - положительная константа, зависящая только от Со, т, п. Отметим,
что при больших v это довольно точная оценка. Пусть к, к' - два различных
вектора из множества K(v, г). Тогда
Со 1 |fc - к'\~т ^\(из,к-к')I ^ \(из, к)I + \(из, к')I ^ 2~"+1.
Следовательно, расстояние между этими векторами
\к-к1\>{с-1Т~1)11т = 2pv
очень велико при больших и. Заметим, что величина определенная предыдущим
соотношением, удовлетворяет условию
Pv ^ Г, (6.8)
так как \к - к'\ ^ 2г. Определим кубы Ск с центрами в точках к € К (у, г)
Ск: \х - к\ < pv
1Так как предполагается, что неравенства (6.5) выполнены при каком-нибудь
т, то ясно, что доказана оценка (с а = т + п) достаточна для
доказательства теоремы 1. - Прим. перев.
126 Быстро сходящийся метод итераций
Эти кубы в силу сказанного выше попарно не пересекаются. Кубы Си
пересекаются с гиперповерхностью \х\ = г по попарно не пересекающимся (п
- 1)-мерным множествам с (и - 1)-мерным объемом ^ р(tm)-1. Так как (и - 1)-
мерный объем гиперповерхности \х\ = г равен 2и(2г)(tm)-1, то
N(^ г) < 2П^п-1- ^
Pis
Чтобы завершить доказательство леммы, рассмотрим выражение I(к, ш)|_1 ^
2v+1N(v, г) ^ 2с1гп-12{1-(п~1^Т>.
K(is, г)
Заметим, что при v > 0 последний показатель степени положителен.
Складывая соответствующие неравенства, написанные для всех тех г/, для
которых множество К(р, г) не пусто, получаем
Y, I{к, w)|_1 "С C2rn-i2(i-(n-i)/r)v\
\к\ = г
где Vх - максимальное из тех v, для которых множество K(v, г) не пусто.
Из соотношения (6.8) получаем оценку для v*:
2"*/т ^ с3г.
Следовательно,
I{к, w)|_1 ^ c4rn_1rT_(n_1) = с4гт.
\к\ = г
Наконец, выражение (6.7) оценивается следующим образом:
оо СЮ
Н ^ X] X] w)l_1 e~rS ^ C4^2rTe~rS ^ сь6-'-\
Г= 1 | fc 1=7- Г = 1
Лемма доказана. ¦
с) Для того чтобы доказать теорему 1 и дополнение к ней, рассмотрим
семейство дифференциальных уравнений
х = а + f(x, а), (6.9)
Глава 3
127
аналитически зависящее от параметра а, который изменяется в некоторой
комплексной окрестности и>.
Мы будем искать преобразование координат
х = и(?, а) (6.10)
и замену параметра
а = w(a), (6-11)
обладающие тем свойством, что в соответствующей области в преобразованном
уравнении
i = а + Ф(?, а) (6.12)
функция Ф значительно меньше, чем /. Повторяя этот процесс, мы построим
решение, удовлетворяющее теореме 1.
Перейдем теперь к точным оценкам. Потребуем, чтобы при соответствующим
образом подобранных положительных числах е, s < 1 было выполнено
неравенство
|/(ж, а)|<? при |1шж| < s, \а - из\<2е. (6.13)
Все последующие оценки будут проводиться в комплексной области.
Лемма 2. Предположим, что функция / вещественно-аналитична в области
35: |1шж| < s, \а - из\<2е,
и удовлетворяет условиям (6.13). Пусть положительное число s+ < s
выбрано так, что число -------------------- достаточно мало. Обозначим
(8-8+Г + 1
2
?+ = с --------, где с - подходящая положительная константа.
+ (s-s+r+1
Тогда существует преобразование
U: х = и(?, а), а = w(a), которое аналогично в области
35+: |Im?| < я+, \а-и)\<2е+,
и отображает эту область в область 35.
128 Быстро сходящийся метод итераций
Более того,
s_1|u-?|, \щ-1\ < \w-a\<s,
и преобразованное уравнение (6.12) в области 35+ удовлетворяет условию |Ф
I < ?+•
Доказательство.
