КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Сужая область до круга |?| < (1 - 50)г и применяя неравенства Коши,
получаем
Ф' ^е|со4-
\ 2 04
Лемма полностью доказана. ¦
Мы сумели преобразовать первоначальное отображение f(z), которое
удовлетворяет условиям (3.1), в новое отображение Ф, которое
Глава 3
115
намного ближе к линейному отображению. Будем повторять эту конструкцию и
покажем, что полученная последовательность отображений fn сойдется. В
самом деле, если /" = \z + fn и в круге \z\ < гп
ш
то из леммы 3 следует, что отображение fn+i = v~x о fn ovn удовлетворяет
в круге \z\ < rn+1 соотношению
Тп+1 <2сД =?,*-!. (3.5)
Уп
Радиусы кругов гп должны убывать, и поэтому мы выберем
г(1+2~п)
rn = j ' (3-6^
Определим тогда в = 9п с помощью соотношения r^+1 = 1 - 59п так, что
ьк = (3.7)
Для того чтобы доказать сходимость к линейному отображению, достаточно
показать, что последовательность еп, определяемая равенством (3.5),
стремится к нулю. Из (3.5) и (3.7) находим
en+i ^ Сз+1?п, гДе с2 = 25с0 (п = 0, 1, ...).
Конечно, последовательность е'п = С2+2?п удовлетворяет неравенству е!п+1
е'п2, т. е. для е'0 = с\ео < 1 последовательность fn
сходится.
Мы должны проверить еще выполнение неравенств (3.4) для в = 6п,
е = ?", но это очевидно при достаточно малом ?0, так как
последовательность еп убывает гораздо быстрее, чем вп. Таким образом, мы
построили последовательность отображений Vo, v±, ... , vn, ..., причем vn
преобразует отображение /" в /n+i, если обозначить данное отображение /
через /о- Следовательно, отображение ип = % о oj о ... о vn-\ преобразует
/ в
fn = u~1 О f о Un. (3.8)
Из леммы 2 нетрудно усмотреть, что отображение ип определено в круге |С|
< rn-1. В самом деле, vn-\ отображает круг |?| < гп-\
116
Быстро сходящийся метод итераций
в круг |?| < тп-2 и т.д. Более того, из построения отображе-
ния fn следует, что оно также определено в этом круге. Все гп |
(см. (3.6)), и нетрудно показать, что последовательность ип равномерно
сходится в круге |?| < Для этого рассмотрим произведение
П - 1 71- 1
и'п = U К = П (1 + ^i/)) гДе производную v'v нужно вычислять в точ-
и=0 v=О
ке vv+i о ... о wn_i(?). Из оценки, приведенной перед формулой (3.3),
следует, что \v'v\ ^ c^ev, и, таким образом, бесконечное произведение
СЮ
П (1 + 1^1) ^ с4 равномерно сходится в круге |?| < Из этого следу-!/=0
ет, что
\ип+1 - ипI ^ с4 sup |щ"(С) - CI ^ с4 \vn\ 0.
Таким образом, un(Q -> и(() и fn(() -> \( и из (3.8) и-1 о fou(() = Так
как г>га(0) = 0, v^(0) = 1, то также м(0) = 0, г/(0) = 1.
Таким образом, изложенная выше конструкция приводит к цели,
выбрано достаточно малым. Этого можно
если только ?о = sup /'
\z\<r
достигнуть, выбирая г достаточно малым, так как /(0) = /'(О) = 0. Теорема
Зигеля полностью доказана.
§4. Теорема Н. Левинсона
Описанный в § 2 подход применим для изучения операторов ^(/, и),
удовлетворяющих соотношениям (2.1). Укажем еще несколько примеров таких
операторов. Пусть, например, и = и(х) - дифференцируемое отображение х 6
Еп в Еп, а и'(х) - матрица Якоби этого отображения. Тогда оператор
${f,u) = u'~1(fou) (4.1)
удовлетворяет соотношениям (2.1). Как легко видеть, этот оператор задает
закон преобразования дифференциального уравнения х = /(ж) при
преобразовании у = и(х). Пусть / - отображение пространства X = = Еп в
пространство Y = Ет. Оператор
?(/, и) = u^1ofoU2 (4.2)
выражает закон преобразования отображения / при действии двух
автоморфизмов: их - в пространстве X и 112 - в пространстве Y. Уравнение
#(/, и) = g означает, что отображение / при надлежащих заменах
Глава 3
117
координат в пространствах X и Y переходит в отображение g. В случае X = Y
оператор
?(/, и) = и-1 О / о и (4.3)
выражает закон преобразования отображения / пространства X в себя при
преобразовании координат. Оператор, рассмотренный в § 2, относится к
этому типу. Наконец, оператор #(/, и) = / о и также удовлетворяет
соотношениям (2.1).
В качестве примера применения наших методов к последнему оператору
рассмотрим следующую теорему Н. Левинсона [30] из теории функций многих
комплексных переменных.
Теорема. Пусть
f(z, w) =po(z, w) +wn+1f(z, w)
- степенной ряд, сходящийся при \z\ < р, |го| < а, причем р0 - полином
степени Г- п относительно w, ро(0, го) = wn, а / - произвольный степенной
ряд. Тогда существует преобразование координат
(z, w) -"¦ (z, w),
w = u(z, w) = w + w2u(z, w),
такое, что Ф(z, w) = f(z, u(z, w)) - полином степени n относительно w.
Введем оператор
u) = f(z, u(z, w))
и будем пытаться решать уравнение
?(/, и) = wn (modPra),
где Рп - пространство полиномов относительно w степени п, обращающихся в
нуль при z = 0. Используя метод, описанный в § 2, сведем задачу к решению
линеаризованного уравнения
3'(Ф, J)v=g(modP"). (4.4)
Нетрудно видеть, что #'(Ф, I) = Фго(^, w)v, где - полином степени ^ п-1 и
Фго(05 го) = п""-1. При v = w2u уравнение (4.4) сводится к уравнению
{т2Фп,) -и = g (modPra).
118
Быстро сходящийся метод итераций
Это стандартная задача деления, и мы выберем полином p(z, w)?Pn так,
