КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
способом представить в виде z = Zo + rN, где zq G D, т - расстояние от z
до D, а N - единичный комплексный нормальный вектор. При г = 0 мы
получаем точку из Do, а при г = р - граничную точку области Dp. Определим
матрицы a^\z) = a^v\zo). Матрицы а^ симметричны, так как Zq Е D0, т. е.
Zo - вещественный вектор.
По теореме Тейлора
a^iz) = a^iz) + + 0(г2), (3.4)
Ц
где Avfl = ^-(zo), а члены, входящие в 0(г2), оцениваются через вторые
производные от а. Для получения нужной нам оценки применим
92 Быстро сходящийся метод итераций
комплексную формулу Грина
j (и, а^и^ dr = ^ j Nv (и, a^u^j da, (3-5)
Da " dD"
где da - (2n - 1)-мерный элемент объема на гиперповерхности dDp
Коэффициент | в правой части формулы появляется из-за того, что
dz 2\дх ду)' [ '
Заметим, что и - аналитическая функция и, следовательно, =
UZu
= 0. В силу этого получаем a^u'j = (й, + (й,
и, используя уравнение (3.5),
(и, Lu)о - (и, (b - ^-)uj = ^ J Nv(u, a^u) da.
dDp
Взяв вещественную часть от этого тождества и замечая, что вы-
/_ (i/) \
ражение (и, и) вещественно, находим
Re((n, Lu)о - (", (b- ? ^)")о) =
= ^ J ReNv(u, а^и) da + ^ J Nv(u, Al/^NIJju) da + 0(p2).
dDp
Из наших предположений следует, что два интеграла в правой части
положительны и превосходят оставшийся член, следовательно,
Re(w, Lu) о ^ Re I и, lb -
daS .
1 и
dzv , , 0
Наконец, так как правая часть содержит члены
Глава 2
93
мы можем с небольшой погрешностью заменить выражение Ь - ^2 ^
UZu
на Ьо, определяемое формулой (1.2), и получить
Re(w, Lu)о Re(w, Ъои)0 - ср(и, и)0 ^ j(u, и)0.
Лемма доказана. ¦
Следствием из леммы является неравенство
1М|0 ^ 7IMI0,
с помощью которого стандартным способом устанавливается существование
слабого решения у уравнения Lu = f, если f - комплексноаналитическая
функция в области Dp. Однако в этом случае слабое решение является
комплексно-аналитической функцией и, следовательно, классическим решением
в Dp. В этом смысле эта задача оказывается значительно более легкой, чем
предыдущая.
Покажем теперь вкратце, как установить существование аналитического
решения у нелинейной задачи, которая в данном случае также легче, чем в
предыдущих. Пусть З'(м) = F(x, и, их). Будем строить последовательные
решения линеаризованного уравнения
$'{us)v + 3(us) = 0, Us+i = Us+V,
по методу Ньютона. Предположим, что функция us - комплексноаналитическая
в комплексной окрестности области D радиуса ps, где ps+i = ps - 5S, a Ss
выбраны заранее так, что XMs < Предположим,
ЧТО ||ЗК)||0 < ?S-
Используя априорные оценки для линеаризованного дифференциального
уравнения
a^Uz,, +Ъи = -F(x, и, их),
V
находим ||ms+i - и81|0 = ||u||0 ^ 7_1?s.
Оценим теперь
Ц^К+ОНо = Ши*) + S'(us)v + Щи8, и)||0 = ||il(ug, v)\\0 .
Однако квадратичный член содержит производные от v. Оценивая их
аналогично тому, как это было сделано выше, получим
\Щи8, г>)||0 ^ С (Iloilo + ||?;||0) х max (1^1 + И) ^ 7c8~(nl2-2)e2s.
94 Быстро сходящийся метод итераций
Эти оценки имеют место в суженной комплексной окрестности радиуса ps -
ёд. Таким образом,
||3tMs+i)llo ^ ?в+ъ
^ -1 с-(п/2 -2) 2
если только es+i ^ 7 cos ' е8.
о 00 р
Положив, например, Ss = s~2j, получим ^ ё8 </ ^ и es+i =
4 8=1 1
" г\-п-4-2
- С1 Р S *
При достаточно малом ?0 РЯД ?к сходится. Этим доказана сходимость
итераций, так как
е+р-1
||и8+р _ Ms|lo ^ Т ^ 1 ?V
v=s
при \z - D\ <1 < p - ^Sg. Таким образом, решение - аналитическая функция.
Суммируем полученные результаты.
Теорема. Если функции Fv(x, у, р) вещественно-аналитичны в комплексной
окрестности области \у\ + |р| ^ 1 и если матрицы a^v\x) = FPi/(x, 0,0), b
= Fv{x, 0, 0) удовлетворяют условиям
(3.1) и (3.2), то при достаточно малом sup \F(x, 0, 0)| существует
вещественно-аналитическое решение уравнения F(x, и, их) = 0.
§ 4. Инвариантные поверхности для обыкновенных дифференциальных уравнений
а) Применим полученные выше результаты к задаче о возмущении
инвариантного многообразия системы обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Пусть z = Ip(z) - векторное поле. Назовем замкнутое многообразие
инвариантным, если векторное поле в каждой точке многообразия ст
направлено по касательной к ст. Например, периодическое решение - это
одномерное инвариантное многообразие. Нас, однако, будут интересовать
инвариантные многообразия больших размерностей.
Понятие инвариантного многообразия естественно возникает при изучении
слабо связанных осцилляторов, т. е. системы уравнений вида
Xv = fv{xv, xv) + p,gv{x, x) (v = 1, ... , n). (4.1)
Глава 2
95
При /л = 0 эта система распадается на п независимых уравнений второго
порядка. Предположим, что каждое из этих уравнений имеет по
периодическому решению, которое можно записать в виде
где s" = 1.
Ясно, что совокупность переменных sv содержит п произвольных начальных
значений, так называемых фаз. В 2п-мерном фазовом пространстве уравнения
(4.2) определяют n-мерный тор, который является инвариантным
многообразием системы (4.1) при /л = 0.
