КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Положим и(? а) = ? + и, где и определяется из уравнения
Щи) = /(?, а) - [/(С, а)], [и] = 0. (6.14)
Из леммы 1 следует, что это уравнение имеет вещественно-аналитическое
решение, которое в области |Im?| < s - S удовлетворяет
неравенству |й| ^ с- --. Следовательно, в силу неравенств Коши
(S - S-|-)
при |Im?| < S+
|""| ^
с-
€
\s - s+)<r+1 '
Зададим, далее, а = w(a) неявно с помощью уравнения
а = а + [/(?, а)]. (6.15)
Существование решения а = w(a) у этого уравнения немедленно следует из
того, что степень отображения а(а) в области \а - и>\ < 2е равна 1, так
как
\а - ш - [f]\ ^ 2е+ + е < 2г.1
Следовательно, существует обратное отображение а = w(a). Более того,
нетрудно убедиться, что якобиан отображения, задаваемого уравнением
(6.15), не обращается в нуль, так что функция w(a) аналитична при \а -
и>\ < 2е+. Неравенство для |го - а\, входящее в утверждение леммы,
следует из (6.15).
Приведенные выше оценки дают возможность утверждать, что преобразование
U, определенное формулами (6.14) и (6.15), отображает область 35+ в 35,
так как
|1шж| ^ |Im?| + |и| ^ s+ + с- ^ s+ + (s - s+) = s.
(s - s+J'7
1 ?
1Мы используем здесь то обстоятельство, что при достаточно малом --------
------1т+1
имеет место неравенство 2s+ < е. i.s ~ s+)
Глава 3
129
В этой оценке мы использовали предположение о том, что выражение
-------- достаточно мало.
(8-8+Г + 1
Теперь, после того как определены и(?, а) и w(a), можно оценить Ф.
Подставляя (6.10) и (6.12) в (6.9), получаем
и^(а + Ф) = а + /(? + и, а).
Вычитая из этого соотношения равенства (6.14) и (6.15), находим
Ф + щФ = /(? + и,а)~ /(?, а) - щ(а - из).
Так как |й^| < отсюда можно оценить |Ф| при |Im?| < s+,
\а - из\ < е+. А именно,
| |Ф| ^ sup |/'| |"| + |и4| \а - из\.
Еще раз используя неравенства Коши, находим
|ф| < +
Лемма доказана. ¦
d) Доказательство сходимости приближений. Для доказательства теоремы 1
(из § 5) и дополнения к ней (см. начало настоящего параграфа) мы будем
последовательно применять лемму 2. Начнем с заданного семейства
дифференциальных уравнений с правыми частями /о = /(ж) + а, где а = из +
А, и преобразуем его с помощью преобразования
С/о: х = и(?, а), а = w(a) в новое семейство с правыми частями
fi = m, a)=S(f0,U0).
Здесь $(f, U) обозначает закон преобразования правой части
дифференциального уравнения при преобразовании Uq, т. е.
Шо, U0) = (и')_1/Мб a), w(a)).
130 Быстро сходящийся метод итераций
Затем преобразуем систему с правой частью Д с помощью преобразования U± в
систему с правой частью
/2 = Ж/ъ C/i) = Ж/о, U0 о Иг)
и т.д. Мы покажем, что существует область, в которой произведения t/о о
... о Un определены при всех п и сходятся. В частности, мы покажем, что
при а = 0, |Im?| < тр C/i о С/2 о ... о Uk -> U*, а fk -" 0. Записывая
преобразование U* в виде
х = и*(0 0),
а = го*(0),
мы видим, что первая строчка дает искомое преобразование координат, а
вторая - значение поправки к частоте, т. е.
Л = а - из = w* (0) - из.
Приступим теперь к индуктивному определению преобразований Uk- Пусть
преобразования С7о, ... , Uk-г уже определены и пусть Л = Ж/о, С7о оC7i о
.. .oUk-г)- Тогда, используя конструкцию леммы 2, определим
преобразование Uk и
fk+i = ЖЛ, Uk) = Ж/о, С/о о ... о Uk)-
Докажем по индукции следующие оценки. Пусть 55*,: |1тж| < s*, \а - и)\ <
2ек, где
' f (1 + 2-ft) (* = 0,1,2,...),
' ek=cZh-"~1el_1 (k = 1,2,...), (6Л6)
,S0=?-
Здесь ci - некоторая константа, зависящая только от со, т, <т, п. Тогда
а) Функция определена и аналитична в области 1)к и удовлетворяет там
условию |Д - а\ < ек-
0) Преобразование Uk определено и аналитично в области '?к+1 и отображает
Qk+i в Du- Кроме того,
\wk-a\<?k, Ci-1 \ик ~ ?| , \и'к - I\ < ck+1h~a~1ek-
Глава 3
131
Проверим эти утверждения при к = 0. В этом случае утверждение а)
непосредственно следует из условий дополнения к теореме 1, так как вЭо
|/о - а\ = |/(ж)| < ? = ?о- Лемма 2 гарантирует существование
преобразования [70 в области 35т, если выбрать s = so, s+ = si-
Предположим, что утверждения а) и 0) доказаны при к = 0, 1, ... , I - 1.
Тогда можно применить лемму 2 к функции / = /г в области 35 = = 35; и
построить преобразование U = Ui в области 35;+i. Выполнение утверждений
а) и 0) следует непосредственно из оценок, даваемых леммой 2.
Используя утверждения а) и 0) для fk = 0(fo, U0°Ui о ... oUk-i), можно
обосновать предельный переход при к ->¦ оо. Заметим, что преобразование
Vk = Uo о Ui о ... о Uk-i определено в области 35 ь Ограничимся
рассмотрением этого преобразования в области 35 = |~| 35*,,
к^О
т. е. 35: |1т?| < а = 0. По построению Vk отображает область 35 вЭ0.
Покажем, наконец, что в области 35 последовательность преобразований Vk
сходится. Для этого распишем Vk по компонентам
Vk:x = vk(0a), a = wk(a).
По построению имеем
К+1 -щ\< Ck + 1h~a?k, \wk+1 -wk I < ?k,
и так как ряд ^^ск+1?к в силу (6.16) сходится (при достаточно ма-
к
лых -^-г), то ясно, что lim vk существует и является аналитической
