Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 39

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 136 >> Следующая

О
и = ?, v = г), и преобразующее систему (5.6) в систему
i = из, г] = О
при 1} = 0. Следовательно, система (5.6) имеет при достаточно малых |ег|
условно-периодические решения
о о
х = u(ut+ ?, О, ё), у = v(ut+ ?, О, е).
Этот результат имеет фундаментальное значение при изучении гамильтоновых
систем и в приложениях к небесной механике (см. В. И. Арнольд [12]). Мы
не будем здесь доказывать теорему 2 (доказательство можно найти в [13]),
а проведем доказательство теоремы 1 и рассмотрим ее обобщение на случай
дифференцируемых векторных полей.
§ 6. Доказательство теоремы 1 (аналитический случай)
а) Перейдем к доказательству теоремы 1 в том виде, как она была
сформулирована в предыдущем параграфе. Как мы уже упоминали, этот
результат содержится в работе В. И. Арнольда [11]. Мы дадим
доказательство в такой форме, что его можно будет использовать для
дифференциальных уравнений, у которых компоненты вектора /(ж) только
достаточно много раз дифференцируемы, но не аналитичны. Однако мы оставим
этот случай до следующего параграфа, а сейчас предположим, что в заданных
дифференциальных уравнениях
X = LJ + f(x)
f(x) - вещественно-аналитическая вектор-функция, имеющая период 27г по
переменным х\, ... , хп. Мы не указываем здесь, что /(ж) зависит от
параметра е, а заменяем эту зависимость условием малости /(ж).
122
Быстро сходящийся метод итераций
Теорема утверждает существование вещественно-аналитической функции и(?) и
константы Л таких, что уравнение
Кроме того, вектор-функция и(?) - ? должна иметь период 27т по переменным
?i ,...,?".
Мы будем доказывать теорему 1 со следующими уточнениями. Дополнение к
теореме 1. Существует положительная констан-
условии, что в области |1тж| < h имеет место неравенство |/(ж)| < е,
существуют постоянный вектор А, |А| < 2е, и искомая вектор-функция м(?),
удовлетворяющая условию
Из этого утверждения следует существование решения и у уравнения в
частных производных на торе:
тор с компонентами u>i, ... , изп, которые удовлетворяют некоторым
условиям типа не слишком хорошей совместной приближаемости рациональными
числами (см. ниже (6.5)). Ясно, что константу А нужно подобрать так,
чтобы среднее значение правой части обратилось в нуль.
Чтобы подчеркнуть тонкость решаемой задачи, отметим, что нельзя ожидать
существования решения у уравнения типа (6.4), где функция /(?+м) заменена
на функцию /(?, и) периода 27т по ?. В самом деле,
х = и> + f(x) + А
(6.1)
с помощью замены
х = и(?)
(6.2)
преобразуется в уравнение
? = и.
(6.3)
та С*, зависящая от п, т, со, такая, что при г < " (h < 1)
и при
й^из = /(? + и) + А.
(6.4)
Здесь через щ обозначена матрица Якоби
через и - век-
Глава 3
123
даже в случае функции /, линейной по и, например /(?, и) = /о (?) + + ей,
легко построить опровергающий пример, в котором решение не существует,
как бы малы ни были /о и с. Причина этого явления состоит в том, что нуль
является предельной точкой для дискретного спектра оператора
П
\ ' д
2^u3v '
и=1 ^
действующего в пространстве функций на торе. Следовательно, не достаточно
трактовать (6.4) просто как некоторое дифференциальное уравнение в
частных производных, а важно учитывать также, что / зависит только от
суммы ? + и. А это обстоятельство эквивалентно тому факту, что (6.4)
представляет некоторый закон преобразования, как было отмечено в § 2.1
Мы будем предполагать, что числа u>i, ... , изп рационально независимы и,
более того, удовлетворяют неравенствам
\(к, w)|-1 ^ с0 \к\т (6.5)
для всех ненулевых целочисленных векторов к = (к± ,...,&")
с 1^1 = 2 \kv\- Здесь т - некоторое число, большее чем п- 1, а со -
положительная константа2. Нетрудно показать, что любая сфера в п-мер-ном
пространстве, радиус которой имеет порядок не меньше, чем с^1, содержит
по крайней мере один такой вектор и>. Более того, множество
векторов, для которых условие (6.5) с данным т > п - 1 не
выполнено
ни при каком со, имеет меру нуль.
Ь) Начнем доказательство с двух лемм. Первая из них касается
разрешимости линейных дифференциальных уравнений в частных производных
VXUJ = g{x) (6.6)
или, в координатной записи,
п
'Y^l^VVllXv = g-д (ж). и=1
1 Имеется в виду, что преобразования дифференциального уравнения при
замене координат образуют группу. - Прим. перев.
2В дальнейшем буква с с различными индексами будет использоваться для
обозначения различных констант, причем в каждом случае это не будет
оговариваться.
124
Быстро сходящийся метод итераций
Потребуем, чтобы функции g и v имели период 2тг по переменным х\, ... ,
хп. Очевидно, что необходимым условием разрешимости уравнения (6.6)
является равенство нулю среднего значения [g] функции g.
Лемма 1. Если вектор из удовлетворяет неравенствам (6.5), a g(x) -
вещественно-аналитическая вектор-функция с нулевым средним значением,
ограниченная в области |1тж"| < h, то уравнение (6.6) имеет вещественно-
аналитическое решение v(x), имеющее период 2тт по переменным х\, ... ,
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed