КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
чтобы при каждом z в (п + 1)-м корне полинома w2$w выполнялись равенства
p(z, wv) = g(z, wv) (v = 1, . . . , n + 1).
Такой многочлен единствен и его можно найти по интерполяционной формуле
Лагранжа. Тогда формула
где интегрирование ведется по окружности, внутри которой лежат все корни
полинома дает решение уравнения (4.4).
Сходимость приближенных решений можно установить с помощью стандартных
оценок. Детальное доказательство читатель найдет в уже упоминавшейся
работе Левинсона. Весьма замечательно, что, так же как и в теореме
Зигеля, решение u(z, w) можно найти сравнением коэффициентов степенных
рядов, но метод мажорант Коши непригоден для доказательства сходимости
полученного формального ряда, в то время как метод итераций приводит к
цели.
§ 5. Векторные поля на торе и теорема Колмогорова
В качестве еще одного приложения наших методов рассмотрим следующую
задачу о векторных полях на торе: пусть х = (х±, ... , хп). Рассмотрим
векторное поле
где f(x) - n-мерный вектор, компоненты которого имеют период 27т по
переменным х±, ... , хп. Мы можем рассматривать (5.1) как векторное поле
на торе, который получается из евклидова пространства отождествлением
точек, координаты которых отличаются на целые, кратные 27г.
Простейшая система дифференциальных уравнений рассматриваемого вида
возникает, когда f(x) на самом деле от х не зависит
х = f(x),
(5.1)
X = и.
(5.2)
Хорошо известно, что такой поток эргодичен относительно инвариантной меры
dx = dxi... dxn тогда и только тогда, когда компоненты u>i, ... , и>п
вектора и> рационально независимы.
Глава 3
119
Мы хотим выяснить, будет ли поток (5.2) грубым, т. е. приводит ли малое
возмущение уравнений (5.2) к уравнениям, которые можно преобразовать в
(5.2) с помощью замены переменных х = и(?) = ^ + и(?), где м(?) - ? имеет
период 27т по всем составляющим ?i, ... , вектора ?.
Ответ на этот вопрос, очевидно, отрицательный, так как даже замена и> на
близкий постоянный вектор приводит к потоку х = /3, который не сопряжен к
потоку (5.2). Для доказательства этого предположим, что существует
преобразование и(?), переводящее решение ? = flt в решение системы (5.2),
т.е.
Так как функция и периодична по t и, следовательно, ограничена, то и> =
/3. Таким образом, при изучении сопряженности векторных полей на торе мы
должны допускать изменение векторного поля на постоянный вектор, т. е.
пытаться найти постоянный вектор Л такой, что векторное поле х = f(x) + Л
сопряжено с векторным полем вида (5.2). Сформулируем эту мысль точнее.
Пусть у системы уравнений
f(x, е) вещественна, аналитична по переменным х±, ... , хпе и имеет
период 27г по переменным xv. Предположим также, что компоненты u>i, ... ,
вектора ш не только рационально независимы, но также удовлетворяют
бесконечному множеству неравенств
для всевозможных наборов целых чисел ji, ... , jn, не равных одновременно
нулю. Если выбрать со достаточно большим и т > и, то эти неравенства
будут выполнены для большинства щ, точнее, при т > п для почти каждого и>
можно выбрать с0 так, что неравенства (5.4) будут выполняться.
Теорема 1. При выполнении сформулированных выше условий существуют
вещественно-аналитическое преобразование
х = f(x, s) = и> + ef(x, e)
(5.3)
(5.4)
x = u{?, s) = ? + u{?, s)
(5.5)
120 Быстро сходящийся метод итераций
и постоянный вектор А = А(е), А(0) = 0, такие, что преобразование (5.5)
переводит систему
х = из + г/(ж, г) + А(е)
в систему ? = ш.
Эта теорема принадлежит В. И. Арнольду (см. [11]), который доказал ее,
пользуясь методом, полностью совпадающим с методом, изложенным в § 2.
Сама по себе эта теорема не кажется полезной при изучении заданной
системы дифференциальных уравнений, так как теорема касается не заданной,
а измененной системы. Однако эта теорема является шагом в направлении
более общей теоремы о дифференциальных уравнениях, в которых благодаря
наличию достаточного числа параметров возникает ситуация, когда А = 0. Мы
сформулируем эту теорему, принадлежащую А. Н. Колмогорову [9] и В. И.
Арнольду [13]. Рассмотрим гамильтонову систему дифференциальных уравнений
x = Hv(x,y,e), у =-Нх(х, у, е), (5.6)
у которой гамильтониан Н(х, у, е) вещественно-аналитичен и имеет
период 27г по переменным Ж1, жг, ••• , хп. Предположим, что Н (ж, у, 0) =
о
= Н(у)- Следовательно, при г = 0 система (5.6) принимает простой вид
о
х =НУ (у), у = 0
о ° о о оо
и легко интегрируется: х =Ну (У)+ ж, у =у, где ж, у - начальные условия.
Составляющая ж = (х±, ... , хп) в уравнениях (5.6) соответству-
о
ет уравнениям (5.3). Для того чтобы параметры У могли эффективно о о
управлять векторами Ну (у) (чтобы в теореме 1 можно было добиться А = 0),
потребуем, чтобы гессиан системы не обращался в нуль:
д2_Щу) ду2
det -^ 2 ф 0.
Теорема 2. При сделанных выше предположениях и при достаточно малом |ег|
существует вещественно-аналитическое каноническое преобразование
х = и(?,г),е), у = ц(?, rj, е),
Глава 3
121
где и - ? и v имеют период 27г по переменным ?i, ... , такое, что при е =
