КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
порядка I у ws+i. В самом деле, если s выбрано
Глава 3
105
достаточно большим, из (6.3) для U = us+1 можно получить неравенство
||t7||j < К.
Итерационный процесс, задаваемый уравнением (6.2), сходится линейно, так
как член Fu(x, 0, 0)н содержит линейную ошибку относительно v.
Замечательно, что, повысив точность и заменив этот член на Fu(x, и, p)v,
мы получим такое уравнение для U = и + v
Fp(x, и, p)Ux +Fu(x, и, p)U +g{x, и) - аиихи = 0,
которое ведет к потере производных, так как правая часть содержит их.
Следовательно, приближения, которые строятся с помощью уравнения (6.2),
менее точны, но позволяют сохранить гладкость1. Я не знаю конструкции для
общего нелинейного случая, аналогичной (6.2), которая позволяла бы
избежать потери производных.
Глава 3 Проблемы сопряженности2
Метод приближенных решений, использованный выше, применим, конечно, не
только к дифференциальным уравнениям в частных производных, но также и к
другим операторным уравнениям вида
д(и) = /.
Основные требования, при которых этот метод применим, состоят в
следующем.
a) Должно существовать приближенное решение, скажем и = и о, такое, что
$(и0) достаточно близко к /.
b) Линеаризованное уравнение
&(w)v=g (1)
1В оригинале на этом месте стоит непонятная фраза: "In the method
described in Chap. 1 this smothness is provided more systematically so
that even fast convergence can be assured". Видимо, автор имеет в виду,
что в данном случае сохранение гладкости является следствием более или
менее случайного обстоятельства, в то время как в гл. 1 гладкость
обеспечивалась существом метода. - Прим. перев.
2Под этим названием автор объединяет широкий круг задач, известных в
теории дифференциальных уравнений и в аналитических вопросах
дифференциальной топологии, сюда относятся вопросы, связанные с
нормальной формой дифференциальных уравнений, инвариантными
многообразиями, сопряженность диффеоморфизмов и потоков и т. д. - Прим.
перев.
106
Быстро сходящийся метод итераций
должно иметь решения при любом v в окрестности щ. Это второе условие
оказывается даже слишком сильным и часто бывает достаточно разрешимости
уравнения
$'(u0)v = g. (2)
В этой главе мы как раз и будем обсуждать такие задачи, в которых
уравнение (2) имеет решение, а уравнение (1) - нет.
Эти задачи возникают в небесной механике и тесно связаны с так
называемыми трудностями малых знаменателей. Мы рассмотрим простейшую
модельную задачу, в которой возникают эти трудности, а именно проблему
центра. Эта задача решена К. JI. Зигелем в работе [7]. Подробное
обсуждение проблемы центра см. в книге [27], §§ 23-24. Некоторые
аналогичные результаты для дифференциальных уравнений см. [8].
Мы сформулируем эту задачу в следующем параграфе. Наш метод решения
отличается от метода Зигеля и может быть применен и к другим задачам.
Этот метод в точности совпадает с методом, предложенным А. Н.
Колмогоровым [9] для решения задач с малыми знаменателями и
использованным В. И. Арнольдом [13] при доказательстве теоремы
Колмогорова. Основным моментом в этом методе является построение быстро
сходящейся последовательности аппроксимаций с помощью решения
линеаризованных уравнений (2). Для операторного уравнения общего вида это
невозможно, но для обсуждаемых здесь задач (проблем сопряженности), такой
метод будет описан в § 2.
§ 1. Теорема Зигеля
Рассмотрим конформное отображение
Z Z! = f(z)
около неподвижной точки, например z - 0. В этом случае /(0) = 0 и мы
можем записать
z1 = Xz + f(z), (1.1)
где f(z) - степенной ряд, начинающийся с члена второй степени.
Предположим, что Л ф 0.
Задача, которую мы будем рассматривать, состоит в нахождении
преобразования координат
z = u(C)=C + u(0, (1.2)
Глава 3
107
где и(С) - также степенной ряд, начинающийся с члена второй степени
такого, что относительно новой координаты ? преобразование (1.1)
становится линейным преобразованием
Cl = АС-
Если такое преобразование координат (1.2) существует, преобразование
(1.1) называется "сопряженным" к линейному.
Очень просто определить коэффициенты искомого степенного ряда и с помощью
формального разложения в ряд, при условии, что Л не является корнем из
единицы. В самом деле, задача состоит в решении функционального уравнения
"(АО = /НС))- (1.3)
Пусть "(С) = С + 1^2С2 +_ Предположим, что коэффициенты
U2, из, ... , Uk-i уже найдены так, что выполнено уравнение (1.3)
(mod Ск). Тогда из (1.3) можно найти коэффициент при (к
ик\к(к-\ик(к =gk(k (к = 2,3,...).
Здесь коэффициент gk известен, так как он зависит только от U2, из, ... ,
ик-1 и от коэффициентов /. Следовательно,
(\к - \)ик = gk, (1.4)
а это уравнение однозначно разрешимо, если А не является корнем из
единицы.
Вопрос состоит в том, будет ли сходиться найденный формальный ряд для и.
Если |А| ф 1, сходимость можно установить немедленно, пользуясь методом
мажорант Коши (см., например, [27]). С другой стороны, на окружности |А|
= 1 всюду плотно исключенное из рассмотрения множество корней из единицы
