КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы выделить главные члены, вычислим члены порядка I в выражении (Ра-
a^P)vXv. Находим
(р.<-> - = Е (^") + ¦ ¦ •
102 Быстро сходящийся метод итераций
где невыписанные члены содержат производные от v порядка < I. Выражение
(РЪ - bP)v содержит только члены с производными порядка < I. Поэтому
(v, Lv)i = Е + (го, Ф)о, (5.2)
где
?=(",, (м-д) -Е<5-3>
а выражение Ф содержит только производные от v порядков меньше I.
Ь) Таким образом, мы можем оценить выражение ||Ф||0 величиной IMI/-1)
умноженной на коэффициент, зависящий от величин высших производных от а и
Ь. Чтобы выяснить характер этой зависимости, рассмотрим подробнее
выражение Ф. Мы предполагаем, что имеет место неравенство (5.1) и что
|н|0 < со- Все возникающие ниже константы будут зависеть от со-
Рассмотрим те члены Ф, которые содержат Ь. Эти члены имеют вид
Dl~xbDxv = D"(Db){Dxv) (А = 0, 1, ...,/- 1),
где \ + fi = I - 1, a D обозначает любой дифференциальный оператор
первого порядка. Применим неравенство Гёльдера
11 V А 2(/-1) ч Ц ' f Ц1-1) ч А
<: (/ iD^iDb)] 11 <?с)2(,_1)(/ \Dxv\ A d(r))2(,_1).
Используя неравенство (2.3) из гл. 1 и то, что |&i| <; со, получаем1
\\Dtl{Db)Dxv\\о < c^Db^L^lHi-t^ + 1) <
^ Ci(||_D6||;_i + ||"||,_1 + 1) ^ Ci(||6||; + ||"||,_1 + 1),
где Ci зависит от Со- Аналогично оцениваются члены вида
Dl~xaDxvx = Dfl(D2a)Dxvx (A = 0, 1, ...,/- 2), где А + /х = I - 2.
||?>11(?>2а)?>лпж||о^с2(||?>2а||/_2+||пж||/_2+1)^с2(||а||/ + ||п||/_1+1).
1Правая часть неравенства (2.3) из гл. 1 оценивается величиной c||u||?
если
только |ио| < 1.
Глава 2
103
Здесь мы использовали неравенство |а|г < Со- Таким образом, находим
||Ф||о ^ c3(\\a\\i + \\b\\i + 1 + |M|;_i).
Эта оценка полностью выясняет зависимость от высших производных от а и Ь.
Заметим, что зависимость от ||а||; и ||Ь||/ здесь линейная. Конечно,
|Н|/_1 можно заменить на
IMIz-l ^ с4(1 + \\v\\l~1/l),
где показатель степени < 1. Обозначая К = ||а||/ + ||6||/ + 1, получаем
(v, Lv), >Е- с5(К + |М|,1-1/')|М|,. (5.4)
с) Нам остается оценить Е. Если бы Е имело постоянные коэффициенты, то
используя преобразование Фурье и неравенство (1.3), можно получить оценку
Е ;> 2-у ||г"||f - Применяя известный прием Гординга1, который состоит в
применении описанного выше неравенства к функциям ?jV, где - разбиение
единицы, получаем
Я^§71Н1?-Сб, (5-5)
так как а и b непрерывно дифференцируемы.
Константа cq зависит от со и 7. Объединяя (5.4) и (5.5), получаем
(ц, Lv), ^ |7\\v\\f - с6 - с5 |М|, (К + |М|г1_1/г).
Если ||г>||г достаточно велико, то первый член по абсолютной величине
намного превосходит остальные. Если ||ц||г не велико, то остальные члены
можно оценить константой. Точнее, (v, Lv), ^ 7 IMI? - стК2, что завершает
доказательство леммы 1.
§ 6. Квазилинейные дифференциальные уравнения
Если система дифференциальных уравнений квазилинейна, т. е. если Fk(x, Uj
р) - линейные функции от аргументов р, можно построить итерационный
метод, при котором не происходит потери производных.
1См., например, книгу Хёрмандера [33], стр. 255-256.
104
Быстро сходящийся метод итераций
Это означает, что приближения остаются внутри фиксированной сферы ||и||,
< К, в то время как в предыдущих конструкциях высшие производные могли
стремиться к бесконечности. Конструкция, которую мы здесь опишем, -
извлечение из работы Шаудера по гиперболическим дифференциальным
уравнениям [1]. На самом деле мы в конечном счете используем
замечательную теорему Лере-Шаудера о неподвижной точке для случая
отображения шара ||и||г ^ К в себя. Однако подход Шаудера можно
превратить в некоторый итерационный процесс, который мы и опишем ниже.
Шаудер применил свой метод к квазилинейным дифференциальным уравнениям и
отметил, что общий нелинейный случай недоступен для исследования его
методами. По-видимому, изложенные выше результаты для этого общего случая
получены впервые. Было бы интересно применить эти методы также и в случае
гиперболических уравнений, который не исследован до конца.
Предположим, что функции F/t(x, и, р) линейны по р, т.е.
F(x, и, р) = а(х, и)р + Ь(х, и). (6-1)
Пусть приближенные решения щ = 0, и±, ... , us = и уже построены.
Следующее приближение имеет вид ив+1 = U = и + v, где v - решение
уравнения
Fp(x, и, p)vx + Fu(x, 0, 0)п + F(x, и, р) = 0. (6.2)
Первый член соответствует линеаризации при и = и8, а второй -
линеаризации при uo = 0. Наш метод является чем-то средним между методами
Пикара и Ньютона. Чтобы показать, что эта конструкция позволяет избежать
уменьшения числа производных, запишем уравнение (6.2) через U = u + v. Мы
используем, что в квазилинейном случае выражение F(x, и, р) - Fp(x, и,
р)их - Fu(x, 0, 0)и = Ь(х, и) - - Ьи(х, 0, 0)и = g(x, и) не зависит от
их. Прибавляя это выражение к (6.2), находим
Fp(x, и, p)Ux + Fu(x, 0, 0)U + g(x, и) = 0. (6.3)
Из этого уравнения следует, что если и имеет производные с интегрируемым
квадратом порядка I, то априорные оценки, которые по предположению
выполняются, гарантируют наличие производных с интегрируемым квадратом
