КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
Возникает вопрос, сохранится ли инвариантный тор у возмущенной системы
(4.1), если /л достаточно мало. Эта задача о сохранении инвариантной
поверхности при возмущении рассматривалась Дилибер-то [17], Н. Н.
Боголюбовым и Ю. А. Митропольским, Кайнером [18], Хейлом [19] и другими.
Мы покажем, как можно применять к этой ситуации наши результаты о
положительных симметричных системах и получить новые результаты в
предположении достаточно высокой гладкости системы.
Ь) Начнем с рассмотрения заданного n-мерного инвариантного тора стр у
невозмущенной системы дифференциальных уравнений.
Введем в окрестности тора <т0 координаты х±, ... , хп (mod 27т), г/i, ...
, уп так, что тор сто записывается уравнениями yv = 0
(v = 1, ...,n); xi,...,xn (mod 27г) - циклические координаты, а г/i, ...
, уп - координаты в нормальном к тору сто направлении. В этих координатах
невозмущенные дифференциальные уравнения запишутся в виде
где мы вынесли у за скобки, так как у = 0 - инвариантная поверхность.
Малое возмущение превращает эту систему дифференциальных уравнений в
систему
где вектор-функции а -а о, b - bo и с малы. Будем искать инвариантный тор
ст системы (4.3) в виде у = и(х), где и - вектор-функция периода 27т по
каждому из переменных х. Так как векторное поле должно быть касательным к
этому тору, получаем у = иха = -Ь(х, и)и + с или
(4.2)
х = а0(х,у), у=-Ь0(х,у)у,
х = а(х,у), у = -Ь(х, у)у + с(х),
(4.3)
П
(4.4)
96
Быстро сходящийся метод итераций
Сравним эту систему с теми системами, которые рассматривались в
предыдущих параграфах. Нетрудно заметить, что в двух отношениях система
(4.4) проще: во-первых, при фиксированных х и у - скалярные кратные
единичной матрицы и, следовательно, они очевидным образом симметричны.
Это отражает тот факт, что характеристические направления в каждой точке
однозначно определяются из формул (4.3). Во-вторых, уравнения (4.4)
квазилинейны. Оба эти обстоятельства позволяют упростить доказательство
существования решения и ослабить предположения на гладкость
коэффициентов.
Существование тора а зависит от свойств положительности матрицы Ь.
Если (г), Ьг]) > 2j\t]\2, то у траекторий невозмущенного уравнения
составляющая, направленная по у, экспоненциально убывает со временем
примерно как с-27*. Число j характеризует, насколько быстро подходит
траектория к инвариантной поверхности (если мерить расстояние по
нормали). В такой ситуации мы будем говорить, что многообразие а
асимптотически устойчиво.
С другой стороны, функции а^(х, 0) описывают векторное поле на самом торе
его- Наши условия требуют, чтобы
!(r Е+B^2h *) > 2^i2n2'
где
Для того чтобы эти условия выполнялись при всех г, необходимо,
чтобы = 0, т. е. чтобы функции были константами. Этим
их ц
случаем и занимались в основном предыдущие авторы, за исключением У. Т.
Кайнера [24].
Мы видим, что число производных с интегрируемым квадратом, которые можно
оценить, зависит от максимального собственного значения а матрицы , .
, ч
КдаЫ , да^\ ,л ^
+ (4-5)
и от минимального собственного значения /3 матрицы ^(В + ВТ), где
-| ^ О (l-*)
В = b - ^ ^-. Если /3 удовлетворяет неравенству
2, -иХп
Глава 2
97
то можно установить априорные оценки для (Lu, и)г. Для применимости нашей
теоремы нужно еще, чтобы
г > П = + 20.
Условие (4.6) означает, что если /3 достаточно велико по сравнению с а,
то существует дважды непрерывно дифференцируемое инвариантное
многообразие1.
Интерпретируем величину а. При у = 0 поток задается уравнением ж = а(х) и
для элемента длины (ds)2 = X) dxt находим
V
j-t(dsf = (<1х(щ- + ^§^)dx) ^ -a(dsf, (4.7)
т. е. а характеризует, насколько быстро траектории сближаются друг с
другом2.
с) Рассмотрим теперь несколько частных ситуаций, которые
проиллюстрируют также наши результаты, относящиеся к аналитическому
случаю.
Предположим, что рассматриваемые дифференциальные уравнения вещественно-
аналитические и что инвариантное многообразие - асимптотически устойчивый
двумерный тор. Поток на невозмущенном торе, задаваемый уравнениями
х\ = а^\х 1, жг), Х2 = а^2\хi, жг), характеризуется числом вращения,
введенным Пуанкаре lim =
t-УОС Х2 (t)
= из (если а^ > 0) (см. Коддингтон и Левинсон "Теория обыкновенных
1 Предположение о дифференцируемости можно ослабить, если использовать
вместо нормы Ь2-норму, задаваемую максимумом модуля, которая более удобна
в случае скалярных матриц а^и\ это сделал Р. Сакер в своей докторской
диссертации [26].
2Отметим, что величины а, /Зо не инвариантны относительно координатных
преобразований, а зависят от выбора "метрики". Недавно Р. Сакер и автор
нашли условия, которые в минимальной степени зависят от выбора метрики.
Эти условия зависят только от поведения потока вблизи предельного
множества траекторий (см. Лекции Р. Сакера на международном симпозиуме по
дифференциальным уравнениям в Пуэрто-Рико в декабре 1965 г.).
98
Быстро сходящийся метод итераций
Рис. 2
дифференциальных уравнений"). Если число и> иррационально, каждая
