КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
траектория всюду плотна на торе. В случае рационального числа вра-Р
щения ш = ^ существуют замкнутые траектории, на которых при воз-
Глава 2
99
Рис. 3
растании х\ на 2itq а?2 возрастает на 2ттр. Рассмотрим случай, когда из =
| и когда тор содержит одну асимптотически устойчивую и одну
О
неустойчивую замкнутую траекторию (рис. 2). Ясно, что в окрестнос-
дам
ти неустойчивого цикла траектории расходятся и что матрица b
UX (I
+ положительно определена в этой окрестности. Рассматривая
окрестность, в которой собственные числа остаются положительными, мы
приходим к выводу, что при малом возмущении инвариантный тор остается
аналитическим в окрестности неустойчивых периодических траекторий.
Осуществляя продолжение вдоль траекторий, видим, что возмущенный
инвариантный тор аналитичен всюду, за исключением устойчивых циклов. На
рис. 3 изображены сечения невозмущенного и возмущенного торов при х\ = 0.
Мы видим, что сечение возмущенного тора состоит из нескольких
аналитических кусков, а разрывы производной возникают только в точках
асимптотически устойчивых циклов. Это явление аналогично явлениям,
происходящим при образовании ударных волн, когда семейство характеристик
имеет огибающую, с той лишь разницей, что в нашем случае мы имеем дело с
разрывами у производных, а не у самой функции и. Таким образом, наши
методы дают возможность определить возможные местонахождения разрывов
100
Быстро сходящийся метод итераций
производных у решения. Эти разрывы, как правило, сосредоточены на
асимптотически устойчивых инвариантных подмногообразиях инвариантного
многообразия. Если вспомнить, что при изменении параметра число вращения
меняется и может становиться как рациональным, так и иррациональным, то
будет понятной сложность рассматриваемого явления. Однако если
интересоваться только существованием инвариантного многообразия, а не его
гладкостью, то видно, что это многообразие существует и непрерывно
зависит от параметра, до тех пор пока /3 достаточно велико по сравнению с
а, т. е. пока скорость, с которой траектория приближается к тору по
нормали, достаточно велика по сравнению со скоростью, с которой могут
сближаться траектории на торе.
Другим интересным случаем является инвариантная сфера, на которой
траектории выходят из северного полюса и входят в южный (рис. 1). При
малом возмущении в южном полюсе может появиться разрыв первой или высших
производных. Это явление отражает тот факт, что рассматриваемые задачи в
некотором смысле некорректно поставлены1.
Заметим, что начальные значения траекторий не заданы, но требуется, чтобы
они оставались на многообразии. Этим требованием траектории, выходящие из
северного полюса вполне определены (are well determined). Вовсе не
очевидно, что эти траектории при продолжении гладко замкнутся в южном
полюсе, и действительно, высшие производные в точке пересечения не
обязательно совпадут.
d) В заключение отметим, что можно построить теорию возмущений для
произвольных инвариантных многообразий, если только собственные значения
матрицы ^(Ь + ЬТ) остаются в области |ReA| > /3 при достаточно большом
/3. Эти результаты сообщил автору Купка.
Наметим, как можно получить результаты такого рода, пользуясь изложенными
выше методами. Пусть существует матрица 1(х) такая, что (т], 1{х) brf) >
/3(77, rf).
Мы предполагаем при этом, что 1(х) - гладкая матричная функция на
многообразии. Тогда можно получить априорные оценки для (v, ILv)о и (v,
ILv)8. Например, из неравенства ||u||0 ^ c(v, ILv)о сле-
дует IMIo ^ c\\ILv\\0 ^ ci||.Li;||o.
1В оригинале автор, вероятно сознательно, употребляет неопределенное
выражение "not well posed". - Прим. перев.
Глава 2
101
Эти оценки позволяют доказывать существование инвариантных многообразий
так же, как и в предыдущем случае. То же самое замечание справедливо для
симметричных систем, если существует матрица I такая, что матрица 1Ъ + Ът
1т положительно определена.
§ 5. Априорные оценки для линейных уравнений
а) В этом параграфе мы закончим доказательство леммы 1 из §1. Для 1 =
0 эта лемма уже доказана, и здесь мы будем доказывать только оценки для
высших производных (т. е. для больших значений /). Мы будем предполагать,
что выполнено условие (1.3) и что
Но + Нг + |Ь|о + Hi < со и Но < Со. (5.1)
Мы объясним, как возникает в оценке зависимость от ||а||; и ||Ь||/.
Детальное доказательство несколько длинно, хотя и стандартно. Аналогичные
идеи развиваются и используются в книге Л.Хёрмандера [33].
Мы ограничимся случаем четного I = 2к и обозначим (-А)к = Р, (-A)kv = w.
Величина, которую нужно оценить, запишется
(v, Lv)i = (v, (~A)lLv)о = (Pv, PLv)0-
Выпишем выражение для дивергенции
1 ? afH". = KPv- ? + "мifep•'
V V
Интеграл от этого выражения равен нулю. Следовательно, получа-1 ^
f)
ем, обозначая 60 = Ъ - ~ ^-:
1У=1 иЖи
(v, Lv)i = ^2(w, Р(а(г/)^" +Ь)г;)о " a(v)pv^ -
V V
- \ E(w' 1^7Pv) = E(w' (PflH - a(v)P)vxr)o +
V V
+ (го, (Pb - bP)v)0 + (w, b0w)0-
