КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка):
квадратная матрица n-го порядка. Задача состоит в нахождении матрицы (I -
А)~г с помощью итерационного процесса, который ни на одном шаге не должен
включать операцию взятия обратной
Глава 3
111
матрицы. Обозначим / = I-A, и пусть и - произвольная матрица п-го
порядка. Пусть #(/, и) = / • и (обычное произведение матриц). Тогда
задача состоит в решении уравнения
Ж/, ") = !¦
Для оператора ^(/, и), как нетрудно видеть, выполнены соотношения (2.1) и
наша конструкция дает
ип+1 =ип OV,
где $'(I, I)v = I - ?(/, ип) или v = I - f ¦ ип. Положив / • ип = I - Ап,
получим v = I + v = I + Ап и An+i = I - (I - An)v = А2п.
Таким образом, мы находим окончательную формулу
Ап = А2"
и решение
сю
и=(1-АГ1 = Ц(1 + А2П).
71=0
Это - известное произведение Эйлера, которое, очевидно, сходится с
квадратичной скоростью, относительно любой нормы, для которой
|А| < 1.
Для задачи, рассмотренной в § 1, где $ = и 1 о f о и, находим
^'(Ф, I)v = lim Ь{(1 + ег)-1 о Ф о (1 + ev) - Ф} = Xv - v(XQ. (2.7) ?->•0
&
В конце предыдущего параграфа мы показали, что этот оператор обратим, а в
следующем параграфе будет показано, что приведенная выше конструкция дает
приближения, сходящиеся к решению проблемы центра.
Подчеркнем еще раз, что в приведенной выше конструкции нам приходится
обращать только оператор #'(Ф, I), а не $'(f, и). Это обстоятельство
имеет решающее значение в задачах, связанных с малыми знаменателями, в
которых малое изменение линейного оператора может нарушить обратимость,
так как спектр оператора #'(Ф, I) подходит сколь угодно близко к точке 0.
112 Быстро сходящийся метод итераций
§ 3. Доказательство теоремы Зигеля
После наводящих соображений предыдущего параграфа мы дадим теперь точное
доказательство теоремы Зигеля.
Предположим, что данное отображение
zi = f(z) = ^z + f(z)
задано в круге \z\ < г и что
/' < ? при \z\ < г. (3.1)
Так как ряд / не содержит постоянного и линейного членов, мы можем
сделать е сколь угодно малым, выбирая достаточно малое г. Пусть, кроме
того, число Л удовлетворяет неравенствам (1.5) и 0 < |А| 1.
Первый шаг доказательства состоит в оценке решения уравнения (1.7).
Лемма 1. Если функция g(?) аналитична в круге |?| < г, удовлетворяет
внутри этого круга неравенству \g\ < е и g'(O) = g^(0) = 0, то функция
,(С) = 5>*-а г1^*
"L.
к=2
аналитична в том же круге |?| < г и удовлетворяет неравенству
|ц| < 2со-^- в круге |?| < г(1 - в), если только 0 < в < 1.
О
Доказательство.
Из неравенств Коши для коэффициентов аналитической функции следует, что
\gk\ < er~h. Следовательно,
ОО
к
H<?C0^fc2 р ^ ?С0 ^к2(1 - в) к = 2
к < 2ес0 !
*
В соответствии с описанной в § 2 конструкцией построим преобразование z =
v(() = С + ^(0) гДе
"(AC)-Av(() =/(().2 (3.2)
1Мы пользуемся здесь тем, что при 0 < х < 1
ОО ОО ОО / 1 \
? * v ^ ? *(* - i)*fc + Y, ь*к = ^ -
2Это уравнение, как следует из (2.7), соответствует уравнению (2.6).
Глава 3 113
Применяя лемму 1 к функции g = находим
И < 2с°^з при ICI < ^-(1 - ^)-
Так как "(0) = 0, то из этого следует, что
\v\ < ^г. (3.3)
¦
Выясним теперь, где определена функция г-1 о f о v. Для этого докажем
следующую лемму.
Лемма 2. Если 2сре < в4 и 0 < в < то отображение z = v(() =
= С + v(G) отображает круг |С| < г(1 - 4в) внутрь круга \z\ < г(1-30), а
образ круга |С| < г(1 - в) содержит круг \z\ < г(1-20).
Доказательство.
Первая часть утверждения леммы немедленно следует из неравенства (3.3). В
самом деле, если |С| < г( 1 - 40), то из предложенной леммы следует, что
И ^ ICI + \Ц < r(l - 40 + < г( 1 -4в + в)= г( 1 - 30).
Чтобы доказать вторую часть леммы, покажем, что при \z\ < r( 1 - 2в)
уравнение ( + v = z имеет решение из круга |?| < г(1 - в). В силу теоремы
Руше достаточно доказать при |?| = г(1 - в) неравенство |ц| ^ гв, так как
гв < |С| - \z\. Но это неравенство также является следствием неравенства
(3.3) и предположения леммы. ¦
Лемма 3. Если
2с0? <в4 и 0 < ? < 0 < |, (3.4)
то отображение Ф = г>-1 о / о v или Cl = Ф(С) определено при
ICI < г(1 -50) =р.
Кроме того, если записать это отображение в виде
Ci = АС + Ф, то
где Ci < Зс0.
Ф'
<Cifi при |С|<Р,
114
Быстро сходящийся метод итераций
Доказательство.
В силу леммы 2 при отображении v круг |?| < г(1 - 40) переходит внутрь
круга \z\ < г(1 -30). Функция / = Az+f в силу (3.4) отображает этот круг
в круг
\z\ ^ г(1 - 30) + ге < г(1 - 20).
Наконец, в силу леммы 2 в этом круге определено отображение и-1 и,
следовательно, Ф определено при |?| < г(1 - 40). Для оценки Ф перепишем
соотношение vo$ = fovc помощью v = v - f = f - A z, Ф = Ф - A?. Получим
Ф + v(\( + Ф) = A v(C) +/(").
Так как v является решением уравнения (3.2), то
Ф = "(АС)-"(АС + Ф)+/(")-/(С).
Оценивая правую часть с помощью теоремы о среднем значении, получаем
!(АС) - v(\( + Ф)| ^ sup \v'\ sup
Ф
^ |sup
ф
Мы использовали в этой оценке тот факт, что в силу (3.4)
I"1! < <в<Ь
Следовательно, при |?| < (1 - 40)г в силу (3.3) 4
; sup
ф
/(") - /'(С)
sup
г
1^1 , 2с0? \v\<e~$Tr-
