Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мозер Ю. -> "КАМ-теория и проблемы устойчивости" -> 29

КАМ-теория и проблемы устойчивости - Мозер Ю.

Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости — И.: НИЦ, 2001. — 448 c.
ISBN 5-93972-056-0
Скачать (прямая ссылка): kamteoriyaiproblemiustoychivosti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 136 >> Следующая

п + 4
еиш г ^
-ип.1\2^сК-^х+а.
Следовательно, при
Л > = П + 4 (2.3)
1 - а 2г - п - 4
показатель степени отрицателен и
п
Ы2 ^ Е \и- - ^ с'К-(1~а)Х+а = 8,
1/=1
где константа S может быть сделана произвольно малой. То же самое верно
для |и|0 и lu^. Мы должны, следовательно, проверять условия только в
окрестности
Но + Mi + М2 < 6 < L
Проверим теперь условие (5.4), т. е. существование приближенных решений у
линеаризованного уравнения. Для проверки этого условия используем
конструкцию из § 3 гл. 1, основанную на априорных оценках (3.2) гл. 1.
Для получения таких оценок служит лемма из § 1 гл. 2. Условие (1.3)
выполнено для ип, если \ип\0 + достаточно мало. Если, кроме того, \ип\г <
Кп = К, то ||а||{ + ||Ь||г ^ сК при I = г - 1 в силу результатов § 2 гл.
1. Это означает, что выполнены условия (3.2) при s = I = г - 1, и,
следовательно, можно построить приближенное решение с порядком
аппроксимации
ц = г- 1. (2.4)
Получим теперь оценку (5.6). Выражение
21 = F(u + v, p + q) - F(u, р) - Fuv - Fpvx
Глава 2
89
можно оценить с помощью теоремы о среднем значении. Получим
\Щ < с (н2 + \vx\2^j , где с зависит от С. Заметим, что |и|, \их\ < S <
1. Следовательно,
РНо ^ с (Но + Mi) (ll^llo + IMIl) •
Используя неравенства Соболева
и и и 111 - ос' и ца; / Т1 + 2
IMIi ^ CIMI0 ММ > а = "2^'
находим ||51||0 ^ ф\\2~р\\v\\^, где
= <2-5>
Нам осталось выяснить, когда условия (2.3), (2.4) и условия (5.8), (5.9)
гл. 1 совместимы.
При г > + 6 из (2.5) следует /3 < i а условие
(2.3) выполнено
Ji О
с Л = 1. Итак, для проверки (5.9) положим Л = 1, ц = г - 1 и получим
Это неравенство справедливо при г ^ 15. Следовательно, мы полагаем г >
max ( + 6, 15 j.
Отметим, что при таком выборе Л и г = s + 1 имеет место также неравенство
(5.23) гл. 1.
Вторые производные приближенных решений равномерно сходятся в силу (2.3),
откуда следует, что решение и имеет непрерывные вторые производные.
§ 3. Аналитический случай
Мы упоминали уже, что, вообще говоря, решения рассматривавшихся выше
систем имеют лишь конечное число производных. При пользовании нашим
критерием оценки числа производных у решения
90
Быстро сходящийся метод итераций
это соответствует тому факту, что форма (ах) на замкнутом многообразии не
может быть положительно определенной.
Но возникает вопрос, будет ли аналитическая система иметь аналитическое
решение, если (ах) - положительно определенная форма на области с
границей. Пусть D - область в вещественном пространстве переменных (х±,
... , хп), имеющая гладкую границу. Мы предположим, что граничная
гиперповерхность имеет непрерывные частные производные по крайней мере
второго порядка. Пусть имеет место неравенство
52 ^ то |С|2 М2 (3.1)
k,l, (J,,V ^
с положительной константой 70. Пусть, кроме того, вектор внешней нормали
(iVi, , Nn) в каждой точке границы удовлетворяет неравенству
(j2alv)NvV,v)> 0. (3.2)
V
Тогда если функции ТДж, у, р) вещественно-аналитичны, то система (2.1)
имеет вещественно-аналитическое решение в некоторой подобласти области D.
Неожиданным является тот факт, что решение единственно без предположений
о граничных условиях, - но здесь мы не будем доказывать этот факт1.
Причиной этого странного явления будет то, что, как правило, из условий
(3.1) и (3.2) следует существование особенности у левых частей уравнения
(2.1), а решение, которое остается гладким в особенности, единственно.
Пример такого типа мы разберем в следующем параграфе.
Для доказательства сформулированного утверждения мы установим некоторые
априорные оценки в комплексной окрестности области D. Пусть Dp обозначает
множество всех точек z = (zi, ... , zn) комплексного пространства, для
которых существует zq G D такое, что \z - Zo\ < р- Если р меньше, чем
радиус кривизны dD в любой точке и по любому направлению, то любую
граничную точку Dp можно
1Кон и Ниренберг [23] изучают эту задачу в линейном случае. Их подход
существенно отличается от нашего и позволяет доказать также, что система
с коэффициентами из класса С°° имеет решение из класса С°°.
Глава 2
91
единственным образом представить в виде
z = zq + pN, (3-3)
где N - комплексная нормаль.
Предположим, что все коэффициенты, входящие в L, являются вещественно-
аналитическими функциями и, следовательно, можно расширить D на функции
u(z), которые аналитичны при z = х + гу 6 Dp.
Скалярное произведение для комплексных функций вводится следующим
образом:
(и, v)o = // uv dr,
dp
где dr = dxi dyi ... dxndyn - вещественный элемент объема в 2п-мер-ной
области Dp. Докажем следующую оценку для L.
Лемма. Если коэффициенты удовлетворяют условиям (3.1) и (3.2), и если
(г), bop) 2j \г)\2 для х 6 D, то при достаточно малых р
Re(w, Lu)о ^ 7(и, и)0.
Доказательство.
Трудность доказательства состоит в том, что матрицы симметричные при
вещественных z, могут не быть самосопряженными при комплексных z. Поэтому
построим с помощью матриц a^v\z) симметричные матрицы o!q \z) следующим
образом. Если р достаточно мало, любую точку z 6 Dp можно единственным
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 136 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed