Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
X R (А (А)'1 рс, А (Л (АГ1 р, Л (Л)"1 я))~\ (3.1.31)
В качестве первого шага к решению проблемы редукции унитарно отобразим
пространство ф1,2, в котором действует представление,
Ф1-2-*#'1'2, ф^ф':
Ф'(р. q)= (3.1.32)
= Upg\(R(pC, А (р, q)rl)(r)UPa\(R(p2-, А (р, q))~lMPu Р2)
на другое гильбертово пространство Ж'1'2
?'''2 = e J Г 0 | J
й* L а °р) Р \ (tm) }\
¦ (3.1.33)
фр-РЧ/>, q) = bb\(r)M\
200
М. ШААФ
со скалярным произведением
<Ф'1фУ1,2 =
^ J d?(p) J d(r)o(p) J dRp(q)(i!p' (p, q) |qp'(p, <7))Pl,P2= (г|з |ф)1,2.
Qk ?3 (p> P I(p) (3.1.34)
При этом представление UU2 принимает вид
{U'U2(A, а)я|/)(р, q) = (UU2(A, a)i|>)'(/>, q) =
= eip'aUol (Q (p, q; Л)) (r) U%{Q (p, q-, Л)) г|/ (A (A)~l p, A(A)~l q).
(3-.1.35)
Очевидно, что представление UrU2 является индуцированным представлением
группы Р, причем сужение
¦иЪо1 (r) ЬЪор2
в(рд в(рг)
G (р, q), (G) (р, q)^G(p, q) (c) R4 с Р
играет роль индуцирующего представления. Оно, однако, вовсе не является
неприводимым, так как, во-первых, сужение
р р I О О
Uо, (r) Ua2\ G (р, q), вообще говоря, приводимо, а, во-вторых,
О О
группа G(p, q) слишком "мала" (см. работу Макки [9]). Оба эти соображения
используются в дальнейшем в качестве ключа к решению проблемы редукции.
Прежде всего разложим сужение представления {/о,(r)
р2 I О О
(r){/о2|С(р, q) на неприводимые компоненты. В разд. 2.2-2.5 была решена
проблема редукции для сужения
ира\н, H = G(p, q)^{Hu Я2}, Gt={SU(2), SU(l, 1), E(2)}
(см. последний абзац в разд. 2.5). При этом пространство $о с помощью
преобразования унитарной эквивалентности Л отображалось на гильбертово
пространство
Л§?= §&,я = (r) | (3.1.36)
По
в котором сужение Uo | Я разлагается в прямой интеграл унитарных
неприводимых представлений группы Я, каждое из которых входит п (р) раз:
?Po(Q)f>) = Xa(Q)f>), Г^Ъа.н- (3-1-37)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 201
Пусть Щ,Н = ^Л *=1> 2> есть образ пространства $PJ.
^ * >> •• ^ Тогда прямое произведение At (r) Л2 унитарно отображает
пространство ?>0, на гильбертово пространство
(Л] (r) Л 2) (§о, (r) §о2) = §о" я (r) 1>о2, я = Фа1,', о2, я =
=(r) J J с"^), (3.1.38)
"pi яР2
состоящие из комплекснозначных функций J = (Л, X Л2) /, со скалярным
произведением
<ШГР1'Р2^
ft (Pi) re(Ps)
= J dv(a,) J dv(p2) 2 2 /tlT2(ai> ОЖщК- ^) = (/lg)Pi,p2-Яр. яР2 t,=i TS=1
(3.1.39)
Для преобразованного представления
up8l.% = (Л, (r) i2)({/p0'. (r) с/9,) (Л, (r) Л2Г' (3.1.40)
в пространстве Щ',рй"я имеем upa;?№hxAai> 52) = ^("f((r)UK ^ <2^я, (3-1.41)
т. e. сужение Яо1.',g2| Я разлагается в прямой интеграл неприводимых
унитарных представлений группы Я:
Xa' (Q) Х"2 (Q) = XtTl+(T2(Q).
<^1 "Ь а2 - (3.1.42)
_ 1 (Х[+ х2 -2x^2, + р2 + X[X2) при Н = НЬ аг = (х/( р?);
1 (^1 + ^2 - 2х]Х2, Я] + А2) при Я = Я2, а,-= (х?, А,-).
С помощью подстановки
о^о^ + стг, a = aI( (3.1.43)
можно определить унитарное отображение В
"-fw(v "*) <зл-44>
202
М. ШААФ
гильбертова пространства cL н на пространство со скалярным произведением
г/Рп Рг а,. а7. н
<*->Х
*1=1 *2=1
= (f |?>~р1,рг. (3.1.45)
Здесь множество Яр, X Яр, при подстановке (3.1.43) отображается в
множества /г1, Р2 и Я?1'Pl. Заметим, что якобиан, преобразования (3.1.43)
всегда равен 1. Согласно формулам (3.1.41) и (3.1.44), для представления
utoP:^BUZo2B
Pi* Р2 _ - I
(3.1.46)
имеем
V'Co'\h=@ J dv (a)
"Pl> p2
/Pl* p2
П (pi) n (pz) ^
(r) J dv (a) | (r) 2(r) 2 xa
tr Pll p2
П <j
t,=l t2="l
(3.1.47)
т. e. сужение t/o" о, I Я разлагается в прямой интеграл неприводимых
унитарных представлений группы Я. Кратность представления %а равна п (рь
р2, а) п (pj п (р^, где п{ри р2, ^ - размерность гильбертова пространства
квадратично интегрируемых по мере v комплекснозначных функций в
пространстве Яа'Р2. Используем теперь составное отображение
В ° (Л[ <Э Л2) : $<?, (r) Фог ->¦ &'ch! Ои Н,
чтобы унитарно отобразить гильбертово пространство Ф'1'2, определяемое
формулой (3.1.33), на пространство
2____
(r)
/ (р°) Г(r) / /d<oо (р) /(r) / (?) $?"<?я)],
"a L а(?) V *(р) /J
(3.1.48)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 203
Оно состоит из функций Фд^Др, q) со скалярным произведением вида .
<Ф" 1ф">"1,2= j d?(P) J d&0 (p) J dR(q)X
Qk a (pi P
n (Pi) It (P2)
X J ^v(ct) J dv(a)^J ^ 'Фаат.т, (P> Я)' X
pPi"p2 DPt" P: X]r=\
ng
ХФ^,(Р. <7) = (Ф(ф>1'2. (3.1.49)
Согласно формулам (3.1.35) и (3.1.47), представление Я1,2 действует в
пространстве ф"1,2 следующим образом:
(Я"1-2 (Л, а) Г)ад^г (Р, q) = (Я1-2 (Л, а) ф)^ (р, <?) =
= e'P'V (Q (Р, <71 А)) ф^ (А (Л)"1 р, А (Л)-1 ?). (3.1.50)
Иными словами, представление Я"1,2 имеет вид прямого интеграла
представлений группы Р, индуцируемых неприводимыми
^ О О
унитарными представлениями группы G(p, <7).
Последний шаг выполняется с помощью преобразования Фурье (2.7.7). Так как
функция ф" в силу формулы (3.1.49) почти для всех ст и р является
элементом пространства
ф | Ydv(a)^2(I(p)), а поверхность 2 (р) гомеоморфна фактор-
