Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
ц', ji=-oo /=0
-f oo
(2.6.75)
X
-f OO -00 -1 \
V If;y+P+. S 1/w-r ¦
n', H=/+l |X'. |Х=-г-И- 1 J J
Эти формулы следует интерпретировать как условия унитарности для заданных
формулами (2.6.74) преобразований между гильбертовыми пространствами
3?2(G) и пространствами i?2(G), скалярное произведение в которых задано
правой частью формул (2.6.75). Подчеркнем в этой связи, что разложения
(2.6.74) не обладают точечной сходимостью, а сходятся в среднем
относительно норм, заданных в соответствующих гильбертовых пространствах.
Однако в пространствах 3?2(G) и 5?2 (G) существуют плотные
подпространства, сходимость в которых является точечной. Формулы (2.6.74)
и (2.6.75) можно представить также в следующем виде:
f(A)= 2 2(2/ + x+l)Sp(f*';t/?/(2)(/l)+), /leSt/(2),
к=0, 1 7=0
f*-'= J dAUfj} ,2) (A) f (А), /е{0, 1, ...},
(2.6.76)
oo
j dAif(A)i2= 2 ?(21+ я+ l) sp (f'/+Г 0;
SU (2) H=0, 1 7=0
-|l+H)/2+7 oo
[ -(1 + к)/2 + г oo
/И)=2 U / d/(2Z + "+l)nctgnZX
*=0,1 ( -(l+*)/2
. м X Sp (/*¦'¦ °t/SuV.i)(4)+)+
+ ^](2/+x+l) Sp(f*';'^?u;'u%04)+) I > /leSt/(l, 1),
7=0 n=-b i
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ J83
= J dAU^J\l\i}(A)f(A), su (1, 1)
/е={_1±*.+ ;[(>, + оо) | U {0, 1, ...},
J dA\f(A)? =
su (1, п
{-(1+Х)/2+2 оо
J dl(2l + х + l)nctgn/Sp(|fK'''0J+fH';'0) +
-(1 +Н)/2
+ 2 (21 + X + 1) 2 SP ([?*' '¦ Ч]+Г'г' ") } ¦
1=0 л=± '
Наконец, абстрактная формулировка этих соотношений имеет вид
f(A)= J d(i(p)Sp{fpUPa(A)f), ДеС,
G
fp= J dAUp0(A)f(A), P^G, {2 6 ?7)
G
J dA\f(A)f= J dp, (p) Sp (fp+fp),
G G
где G - множество классов эквивалентности неприводимых унитарных
представлений группы G, ре G, а ц - мера План-шереля на множестве G,
конкретный вид которой задан формулами (2.6.76). Легко видеть, что
пространство S^iG) имеет следующую структуру:
^2(С)=(c) / УЩр)^{^ра), (2.6.78)
G
где 2'2 - гильбертово пространство всех операторов Гиль-
берта- Шмидта в пространстве представления т. е. пространство всех
ограниченных линейных операторов в пространстве $ра с конечной нормой
относительно скалярного произведения
(f/P|;p>o^Sp(f/PV); fP> ре<?2(§?). (2.6.79)
Это допускает следующую интерпретацию обобщенного преобразования Фурье
(2.6.77). Каждой функции f е 3?2(G) соответ-
184
М. ШААФ
ствует операторное поле f: G ->2?2(G), где почти для всех р (по мере р)
fp- оператор Гильберта - Шмидта в пространстве и интеграл
J dp (р) Sp (fp+fP) а
сходится. И наоборот: каждому такому полю операторов соответствует
элемент пространства 32(G). Это взаимное отображение пространств 32{G) и
32(G) унитарно.
В заключение отметим одну особенность, отличающую анализ Фурье на
компактных топологических группах от анализа Фурье на некомпактных
группах. В то время как для анализа Фурье квадратично интегрируемых
функций на компактных группах необходимы, вообще говоря, все классы
эквивалентности неприводимых унитарных представлений, для некомпактных
групп это не так. В частности, для группы SU (1, 1) Баргман [13] указал,
что представления дополнительной серии не необходимы для разложения
элементов пространства З2 (SU (1, 1)). Это, однако, вовсе не исключает ту
важную роль, которую играют такие представления для функционального
анализа в более общих пространствах функций на группе SU (1, 1), например
в пространствах Зр (SU (1, 1)), ls^p^oo (ср. с работой Кунце и Штейна
[28]), а также в связи с некоторыми физическими проблемами (Хаджеоанну
[4]). Тем не менее в гл. 3 мы будем пользоваться только анализом Фурье в
пространствах 372 (G).
Приведем также основные результаты, относящиеся к обобщенному анализу
Фурье в пространстве З2 (Е (2)) квадратично интегрируемых функций на
группе Е (2). Определение меры Хаара на группе Е (2) имеет вид
л=(Т """)• (2'б'80)
Выполняется следующее обобщенное разложение Фурье:
оо
f(A)= S J ФрМР'*ВД)(Л)+), Ас=Е(2),
и=0, 1 о
р'*= j dAUE(2)(A)f(A), р е (0, о°), (2,6.81)
Е (2)
ОО
\ dA\f(A)f= 2 J dppSp(fp'*+fp-*).
В (2) К=0. 1 О
редукция произведения двух неприводимых представлений ies
Сюда существенно входит преобразование Ханкеля для функций из
пространства S'2 (0, оо) (см. книгу Титчмарша [29]):
оо
/(|z|)=J dppf (р>/ц'-ц(р|2|),
(2.6.82)
f(p)=J d|2||2|V_n(p|2|)/(|z|).
2.7. РАЗЛОЖЕНИЯ КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ НА ПРОСТРАНСТВАХ
КЛАССОВ СМЕЖНОСТИ SU (2)/Яь SU (1, 1 )/Я, И ?(2)/Я,
Параметризация (2.6.11) групп SU (2) и S?/(l, 1) с помощью углов Эйлера,
параметризация (1. 41) группы Е (2) и разложение Ивасава (2.5.57) для
группы SU (1, 1) позволяют выбрать в качестве представителей классов
смежности этих групп относительно их подгруппы Hi [а также подгруппы Н2
для группы SU (1, 1)] следующие элементы:
А (/р, ф) : SU {2)1 Нх ={А (ф, ф) Нх : 0<Ф < 2л, 0<р<л},
А(%, Ф): SU (1, \)/Hi = {A(h ф)Я, : 0<Ф <2л, 0<|<оо},
А'(х, Ф): SU (1,1 )/Я2 =
= {А' (х, Ф)Я2:0<ф< 2л, - оо < х < оо},
A(z) Е {2)1 Я] = {Л (z) Я, : z s С};
\=(сН/2 е'**Н/2\ (2.7.1)
A(S, Ф)- [e-iq>shy2 ch?/2 /'
А'(х, ф) A{z) =
е/ф/2 (1 - /х/2) - е i<fi2ix/2 e-W4xl2 е-'ф/2(1 + гх/2)
