Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 65

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 81 >> Следующая

о о
Для данного вектора peQ(p), peQt, As{I IX},
существует двупараметрическое множество пар импульсов
(рj, р2) <= Q (р,) X Q (р2.) р, + р2 = р.
Это множество мы будем описывать вектором q:
q = ap\ - (1 - а)р2, aeR, (3.1.2)
который линейно независим от р и лежит в плоскости векторов plt р2. Так
как параметр а можно выбрать произвольно
Г I: р, = /", 1^(0)' р2 т2е(0)' О peQ, =
II: р, = Ш| Лог Р2= е(0) + е(3): Р°ейпЕ
Ш: Р, = m Ло)' О р2 = И2е(3)' р е йш =
IV: р, = m Ло)' ГО 1 0 1 II ссГ III > сГ ш °а
V: Р, = m 1е(0)' р2- т2е(0У о р ^ в2у =
VI: Pl=e(0) + e(3)' Р2 - е(0) е(3)' О Р S fiyj =
VII; Р\ = е(0) "1~ б(3)' р2= "2е(3)> О Р ^ ^VII ^
VIII: Р1 = е(0) "*¦ е(3)' Р2= _ б(0) ~ б(3); г> р е QVIII =
IX: Л = Я1в(ЗУ О Р2 = Я2Й(3); ре Qjx =
X: Р| О, Р2 - 0>
° °
XI; Р]=0 = р2;
р е Qx -
Р е ЙХ1 =
{/яе(0) : т > т{ + m2J,
{me(Q) : т>т,}.
{те(о) : т > °) и {"е(3) : " > °) и {е(0) + е(3)}>
{тет : 0 < m < m,} U {"е(3) : и > 0} (J {е(0) + е(3)},
{me(Q) : 0 < т < т, - т2} U {е(0) + е(3)} U {"е(3) : и >0}
при mj > т2>
{пе(3) ; га >0}U {0} при тх = т2'
{те(0) : т > 0} U {е(0) + е(3)}.
{те(0) : m>°}U{e(0) + e(3)}U{rte(3) :">0|,
{гае(3) : га > 0} U {0}.
{те(0) ; т > 0} U {- те(0) : т > 0} U {е(0) + е(3)} U
U{-e(0)-e(3)}U(rte(3) : rt>0> "РИ п1^п2' {те(0) : m>0}U{-me(0) ; т >0} U
{е(0) + е(3)} U
и{- еф) - е(3)}^{пеЯ) ¦ rt>°}U {°} при raJ=ra2
{Pi}-
{0}.
194
М. ШААФ
и вектор q удовлетворяет условию
(р • я)2-р2я2 = (pi • Р2)2-р\р\, (з. 1.3)
которое не зависит от а, то вектор q обладает, по существу, лишь двумя
степенями свободы. Для дальнейшего положим, что
Р2Ф0ФЯ2, (3.1.4)
и выберем вектор q нормальным к р:
Я = -^{{Р2-Р)Р\-{Р\'Р)Р2), Р'Я = 0. (3.1.5)
Ограничения (3.1.4) несущественны, так как пары векторов
О О
(рj, р2) е Q(p() X ^ (р2), для которых р2 = 0 или q = 0, описывают
многообразие более низкой размерности. Поскольку это многообразие меры
нуль, то оно не играет роли в прямом ин-
",[ п
теграле для гильбертова пространства •у
Дискриминант (Pi • р2)2 - Р2Р2г квадратного уравнения {хр{-\-+ Р2)2 = 0
(с параметром х) положителен, равен нулю или отрицателен в зависимости от
того, пересекает ли плоскость, в которой лежат векторы р, и р2, световой
конус по двум линиям, касается ли она конуса или же лежит целиком в
пространственноподобной области. По той же причине, которая была указана
выше, мы пренебрежем вторым случаем. Тогда величина (Pi • Р2)2 - Р\Р\
положительна в случаях I-VIII и не имеет определенного знака в случае IX,
т. е. только в этом случае, согласно формуле (3.1.3), векторы р и q могут
быть пространственно-подобными одновременно. Во всех остальных случаях
вектор q пространственно-подобен, когда вектор р-времени-подобен, и
наоборот.
Наиболее типичная ситуация отвечает случаю I, когда и рь и р2 лежат
внутри верхнего светового конуса. При этом в системе центра масс вектор q
совпадает с импульсом частицы 1:
Л (р)-1 р = р = (/п, 0), Л(p)~lq = (0, р<Р>). (3.1.6)
Формула (3.1.3) связывает q2 с величинами tn , m2, ml, так что, по
существу, вектор q описывает лишь направление вектора р(]Р).
0 0
Пусть пара (ри р2) принадлежит к одному из типов I - IX.
о °
Формулы (3.1.1) и (3.1.5) отображают множество Q(p 1) X Q (Р2) на область
в пространстве (р, q), состоящую из объединения
О О
массовых оболочек Q (р), отвечающих р е Q,k, причем каждому
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 195
о
р е й (р) принадлежит в ^-пространстве двумерная поверхность
2(p)=*[q:p'i7 = 0, - p2q2 = (Pi • Р2)2 - . (3.1.7)
О
Пусть dR(q)-элемент площади на поверхности 2(р), инвариантный
относительно операции
G{p)=> A'.q->A{A)q, q^Z(p) (3.1.8)
О
из группы G(p):
dR (A (A) q) = dR (q), qe=2(p), Ae=G(p). (3.1.9)
Существование таких элементов доказывается явным построением в формулах
(3.1.20). Определим теперь элемент площади на поверхности 2 (р):
dRp (q) = dR (Л (р)~х q), ijieSfp). (3.1.10)
В силу формулы (3.1.9) выполняется условие инвариантности
dRAp(Aq) = dRp(q). (3.1.11)
Пусть р - мера на множестве Q, заданная следующим образом: Р(ЭИ) =
Х(- 2 2 2) 'А
/ TdnJ'' dtn при ЭИ с (± те{0): т > 0) = Q+ (J Q-,
зл
V.
I
К (л2, р\, pi)
16 л2
dn при ЭИ с {пе(3): п > 0} = Q°,
0 приЗИс{е(0)+е(3)) U {-е(0)-е(3)}(J {0}=
= Qo+UOo"U^o,
(3.1.12)
Я (х, у, z) == х2 + у2 + z2 - 2ху - 2yz - 2zx.
О
Тогда, используя инвариантную меру ?о0 на множестве Q (р), можно ввести
инвариантную относительно группы SL(2, С)
О
меру на отображении произведения массовых оболочек С1(рJ X
О
X ^ (р2) в пространстве (р, q):
196 М. ШААФ
Чтобы зафиксировать нормировку dRp(q), положим
О
dp (р) da о (р) dRp (q) = da0 (р:) da0 (р2). (3.1.14)
Р Р\Рг
о
Легко видеть, что операция (3.1.8) из группы G(p) на поверх-
о о
ности 2(р) транзитивна, так что поверхность 2(р) можно харак-
О ООО
теризовать стандартным элементом q, для которого l>(p) = G(p)q. Будем
выбирать эти стандартные элементы по схеме, приведенной в табл. 3.2.
ТАБЛИЦА 3.2
I-VIII: рей* ¦ рей0 ¦ IX: рей*
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed