Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 63

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 81 >> Следующая

1 z О 1
Поэтому любой элемент AeG, Ge{SG(2), SU (1, 1), Е{2)} имеет однозначное
разложение вида A = R{q)Q, где Q е Я, Яе{Я!Я2}, 7? (4)-представитель
класса смежности из множества G/Н, имеющий вид, указанный в формуле
(2.7.1). Здесь q - параметр, характеризующий классы сопряженных
элементов. Конкретный вид параметра q будет дан в формуле (3.1.18). Меры
Хаара на группах SU (2) и SU (1, 1), заданные форму-йол (2.6.68), и на
группе Е{2) [формула (2.6.80)] в параметризации
186
М. ШААФ
(2.7.1) имеют вид
jdA=jdR (q) J dQ =
e
j Al^±\z\d\z\j *L прИ A = A(z)C(a).
Таким образом определяется разбиение меры Хаара на группе G на
произведение квазиинвариантной (здесь даже инвариантной) меры на
множестве G/Н и меры Хаара на группе Я. Выведем разложение Фурье,
описанное в разд. 2.6, в том виде, который понадобится в гл. 3. В случае
компактной подгруппы Н = Н\ отсюда получается полный ортонормированный
базис в пространстве ЗА1 (G/Hi).
Пусть а - параметр, пробегающий множество Я всех классов эквивалентности
неприводимых унитарных представлений группы Я; v - мера Планшереля на
множестве Я, определенная формулами (2.1.4) и (2.1.9.). Пусть также т -
индекс базиса в гильбертовом пространстве $>% а, входящем в пространство
Л
на котором действует представление AUg\HA~1, умножаемое на неприводимое
унитарное представление %а группы Я; Яр - множество параметров as Я, для
которых представление %а присутствует в редукции сужения Ug\H. Используя
обобщенные матричные элементы Ug(A)x,0, Ta в базисе, связанном с
подгруппой Я, запишем формулы разложения (2.6.77) для элементов
пространства 32(G) в виде
которая определена разбиением сужения Ug\H, упомянутым во введении к этой
главе, всегда справедливо равенство
(2.7.3)
G
Здесь мы учли тот факт, что для меры vp на множестве Я,
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 187
Это следует из разд. 2.2-2.5. Так как f^2(r)(G), то функция на подгруппе Н,
определяемая тождеством f(A) = f(R(q)Q), почти для всех R(q) лежит в
пространстве S2 (Н). Поэтому почти для всех R(q) из анализа Фурье в
пространстве 2?2{Н), заданного формулами (2.1.3), (2.1.4), (2.1.8) и
(2.1.9), следует разложение
f(R(q)Q)= J dv (a) fa (R (q)) %a (Q)\
H
fo (R (Ф) = J dQ%° (Q) f (R (q) Q), (2.7.5)
H
J dQ\f(R(q)Q?= J dv(o)\f0(R(q))f.
н н
С помощью этих формул и соотношения
u% (R (д) Q)TV, та = Upa (R (<7))tv> та ха (Q), (2.7.6)
которое выполняется для обобщенных матричных элементов, мы получаем из
формулы (2.7.3) разложение
fo(RU?))= J#(P) \dHo')JiKa,,xaUPe(R{q)yx,o,xo,
hp Т'Т (2.7.7)
Ко', ха = J dR (q) upa (R (q))xv< та f0 (R (q)).
am
Здесь Ga - множество всех параметров peG, для которых
сужение Uq\H содержит представление х°- Условие унитар-
ности (2.6.77), записанное аналогично формуле (2.7.3), принимает вид
\dA\f (А) р = J (р) J dv (o') J dv (а) ? | fp,a, та |2. (2.7.8)
в в нр щ, т'-т
Используя (2.7.5), получаем Jdv(a) I dR(q)\f0(R(q))\2^
Й от
= J dv(o) J d{i(Р) J dv(o') 2 | fx'o', та Г" (2-7-9)
я ва н0 *'• *
188 М- ШААФ
Таким образом, разложение Фурье (2.7.7) можно рассматривать как унитарное
отображение, связывающее гильбертовы пространства
S2 (Я) (c) S2 ((G/H) = (c) J УЪЩ S2 (-|) и S2 (G)
н
со структурой
S2 (G) = (c) I УЩа) з?2 (G)°,
н. г . . _ ... (2.7.10)
З"2(G)a = ф j /dA(p) (c) j ydv(a') ((c)]? Cl
- \ T'.-t
В случае компактной подгруппы Н=НХ из формул (2:7.7) можно получить
некоторые дополнительные результаты. Здесь Н=Н1 - дискретное множество
всех пар чисел а = {я, р), я <= {0, 1}, р <= {0, ± 1, ± 2, ...}, а J dv
(а) - сумма по я и р;
индексы х', х отсутствуют. С помощью анализа Фурье на группе Я/
пространство З2 (G) разлагается в прямую сумму:
г2(0)=(r) 2 (r) 2 ,0"1П
. х=о, 1 ц=-оо (2.7.11)
З2 (G)*'"={f<=32 (G) : f (R [q) Q)=f (R (q)) %*¦ ¦* (Q)', Q<=H}.
Выберем функцию [g^JG)11'11, Тогда в силу формул (2.7.5) U^(R{q)) =
\,K6ll,J{R{q))> (2.7.12)
а в силу формул (2.7.7)
tv, XV - J <" й) *" / "(V)). (2.7.13)
G/H
Если представить разложение (2.7.10) пространства S72 (G) в виде
2?(б) = 0 2 (r) 2 ^2(G)X^,
х-0 1 ц- со (2 ?14)
S'J(G),,|,s(r) / У<*А(Р)(r) S С*
8х,ц ("*. 1*0 в р
то легко убедиться, что при унитарном преобразовании (2.7.7), связывающем
пространства 32{G) и 32(G), подпространства
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 189
<2?2(?)Х,р и 2 0)Х,р унитарн0 отображаются друг в друга. Так как при
любых (к, р) пространство 9?2{Gj*"v', естественно, изоморфно пространству
9?2{G/Hi), то вместо формул (2.7.7) и (2.7.9) можно написать
f{q)= f dfi(p) 2
Зх,ц
ft* = J dR(q) Ua (R (q))^ f (q), (2.7.15)
G/H
j dR(q)\f(q)\2= f dji(p) 2 IW*
Здесь элементы и UPQ (R (q))^,^ определены следующим
образом:
x'p = ^G^x'V. x'n=^x"x^x'x^G ПРИ p-
(2.7.16)
Очевидно, что функции ?/?(Л)ц,^-матричные элементы в базисе, связанном с
подгруппой Н\, которые были вычислены в разд. 2.2-2.4. Каждой паре чисел
(к, р) соответствует полный ортонормированный базис в пространстве
572(С/Я1):
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed