Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 58

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 81 >> Следующая

некоторые свойства функций ии
Из формулы аналитического продолжения для гипергео-метрических рядов
(Бейтмен и др. [23], стр. 113) следует
(_1)Ч'-Ц _2sin3Xl_ = еш Signdm г)цх,^ (-,) _
gin (jx+>t/2) sign (Im sign (Im г)/2цИ, ,'_n_K(l-Z). (2.6.18)
Из этой формулы и из соотношения симметрии (2.6.4) для функции иполучаем
(-If-" (z) = v*' (z) = (2), (2.6.19)
так что можно рассматривать только область (2.6.5). Из рекуррентных
соотношений Гаусса (Бейтмен и др. [23], стр. 111) выводится рекуррентная
формула
- \\-9z- (V + и) (2ц + х) 1 " , ы _
2L z (2/ + х) (2/ + х + 2) J ч'ч ' '
_ [(1 - н') (I + ц' + X) (I - ц) (I + н + х)]'/з ", х ,
(2/ + х) (2/ + Х+ 1) Vn Т
I К1 +1 - н') (1 + I + н' + я) (1 +1 - >а) (1 + I + ц + х)] I* " г+1 / х
" (2/ + Х+ 1)(2/ + х + 2) Vn W-
(2.6.20)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 167
Здесь при / > р/ понимаются положительные значения корней. Согласно
формуле (2.6.18), такая же формула справедлива для функций
_L\] - 9? - (2^ + Я) (2ц + х) 1 и> , , .
2 I1 (21 + и) (2/ + х + 2) J Ц'Ч ' '
[(/ - ц') (/ + Ц' + х) (/ - ц) (/ + Ц + х)] к " , , ,
(2/ + х)(2/ + х+1) Vn
I [(1 + / - n0 (1 + / + ц' + х) (1 + / - ц) (1 + / + ц + х)] ^
" г + 1 . ,
f (2/ + Х+ 1)(2/ +х +2) Vn
(2.6.21)
Применяя обе рекуррентные формулы, получаем 2 (21 + х + 1) (z - z') и*-,*
(г) vX (z') =
= KX~l (*> *) ~ КХ (г, z), (2.6.22)
г-1/ _ [(/ - и') (/ + и' + X) (I - ц) (I + ц + х)]1/2
Дц'ц KZ, Z }- I + х/2 А
X \uX (г) v^~l (20 - U^~l (z) V*i' (г*)]. Суммирование по точкам 1 =
10, /о+1. •••> А) + N дает
//) + 7V
2 (z - z0 2 (2/ + я + 1) (z) (z0 =
l~h
= KX°~1(z, z) - K№+N{z, г). (2.6.23)
Из равенства F (a, b\ a; г) = (1-z)~b следует
[R - lO (I + h' + x) (/ - ц) (/ + ц + x)]1/a г-1 ^ __
i^±io / + х/2 ч'ч
1
ц'ц
ц'-ц
uX'Ti0(z)
(2.6.24)
+ in-j- f (2ц7 + х) 1 ,(ц'-ц)/2 п _ уц'+ц+х)/2
-6 +У (!*' - |Х)! (|Х7 +11 + х)! V Z) ^
Так как
lim ' (г) = О,
/->ц'-1± ГО Ц Ц
ТО
lim KX~l (z> z') = (- 1)ц ~'х °Vu Сz)/aX(z')>
(2.6.25)
аХ (z) = (- гГ'-"1'2 (1 -
168 M. ltlAA<f>
Из асимптотического разложения Ватсона для гипергеометри-ческой функции
(Бейтмен и др. [23], стр. 88) при |/[->-оо, | arg /1 < л следует
"lit sign (Im I) (ц'-Ц)/2
uf', [ (- sh2 ?/2) = ------------------ [ei v+'P+*m +
^ b (2nI sh ?)Л 1
(2.6.26)
_|_ gin sign (Im 0 (li'-(i+'/alg-C (/ + 1/2+и/2)]>
VX (- sh2g/2) =
-fjisign(Iml) (ц'-ц)/2
- -------------n e-S(*+i/2+*/2) | arg/1 < Л.
_(2я/ sh ?)/j
Отсюда и из свойства симметрии (2.6.4) получаем lim К^(- sh2 g/2, -
sh2^/2) =
Re / -> +co
-(-l-)1* lim e-(C'-t)H+i/a+"/2) = o при ?'>?, (2.6.27)
2 (sh ?' sh ?) ReJ-^ + oo
т. e. г) исчезает при Re/-*-+oo, если точка z лежит
внутри эллипса, проходящего через точку г' и имеющего фокусы в точках 0 и
1, ге? (г'). Учитывая, что произведение и ¦ v не имеет разрезов в
плоскости /, из формул (2.6.23), (2.6.25) и (2.6.27) получаем
(И + " + 1) "у (г) К ' М = J&fc , г е ? м.
" (2.6.28)
Здесь ряд сходится для всех ге ? (г') и является в этой области
разложением функции, стоящей в правой части. Очевидно, что формула
(2.6.28) представляет собой обобщение формулы Гейне (2.6.17) и совпадает
с ней при р/ = р, = х = 0.
Формула (2.6.28) удобна для представлений группы SU (2). Для группы SU
(1, 1) необходима модификация этой формулы, которую мы получим с помощью
преобразования типа Зоммер-фельда - Ватсона (см. книгу Зоммерфельда
[27]). Прежде всего представим ряд (2.6.28) в виде интеграла по контуру
Сь изображенному на фиг. 2.1:
~ijl^r(2/ + x+ 1)и^(2)е-,я'в1вп(1т*Х^(2')- (2-6-29)
Ci
Так как, согласно формуле (2.6.2), функция ufi?(z)vfij(z) не имеет
особенностей или разрезов при Re/>p/-1, то в силу
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 169
теоремы о вычетах интеграл (2.6.29) равен сумме ряда в формуле (2.6.28).
Здесь множитель (-I)7 переходит в ехр[-ini X Xsign^mz')] для нецелых I.
При таком аналитическом продолжении удается оценить подынтегральное
выражение на С2,
3
. ¦ г^Ууг "У1
С г
Фиг 2.1.
и! и *!*
-L.
-§(1*х)+Х+1У
-fO+x)+X-LY
Фиг. 2.2.
изображенном на фиг. 2.2. Контур Ct может быть деформирован в контур С2,
так как подынтегральное выражение может иметь полюсы лишь на вещественной
оси. С помощью асимптотической формулы (2.6.26) при больших 111
подынтегральное выражение можно представить в виде суммы двух экспонент с
модулями
g-(E'-S) Xg-ф-Ъ'+п sign Р')У-Я |У| e-(|'+i)X'e-(-|3-0'+Jtsign3/)y-n|
У^
(2.6.30)
z = - sh2 ё/2, z' = -sh2?72, l + (l+x)l2 = X + iY, ?,
Таким образом, при оо и g' > g, т. е. ze?(z'),
подынтегральное выражение экспоненциально падает. Чтобы получить такое
поведение при Y -*¦ ± оо, необходимо выполнение
170
М. ШААФ
условия
1РК1РЧ (2.6.31)
На плоскости z это условие можно представить следующим образом: среди
гипербол с фокусами в точках 0 и 1 существует гипербола, проходящая между
точками z и z', причем z лежит по одну сторону от вещественной
отрицательной полуоси, a z' - по другую. Иными словами, точка z
принадлежит области H{z'), открытой части плоскости, содержащей
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed