Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ufr.-peGx.,*, (к, рОеЯцр, J"* (?) = t/pG (R (?)Ы- (2.7.17)
Множества GXill и HUp в различных случаях имеют вид G = SU( 2):
Gx, ц = {("'" /): и' = и, I > | (I + к/2 | - к/2},
Hi,(K,t) = {(к', р'): к' = к, -I - и^р'<^/}; (2.7.18)
G = S?/(1, 1):
&х. ¦* = ((*'. 0): к' = к, / = -(1 +")/2 + /g, E>0)U
U {(и', /, л): к' = к, 0<г<1 р + к/2 I - к/2 - 1, г] = sign (р+к/2)},
Я1, (х. г,0) = {(к', р'): к = к, - оо < р' < оо},
Яыи, /, ±) = {("', р')'•><' = и, sign (р' +к/2) = ±,
|р' + к/2|-к/2>/+ 1};
G = E( 2):
ц = {(р, к'): к' = к, р > 0},
Н\. (р.х) = {(*', РО -х' = к, - оо < р' < оо}.
190 м. ШААФ
Так как пространство SU(2)/Hlt согласно формуле (2.7.1), гомеоморфно
двумерной сфере, то формула (2.7.17) определяет обобщенную систему
сферических гармоник при любых значениях к и р. В частности, при х = р =
0 мы имеем функции, с точностью до нормировочного множителя совпадающие с
обыкновенными сферическими гармониками [e^pY (cos р): 0^.1, -/г^р'^/}.
Согласно формулам (2.7.1), пространство SU (1, 1 )/Н1 гомеоморфно одной
из полостей двуполостного гиперболоида в пространстве R3. Соответствующие
функции в формуле (2,7.17) №1'ц можно в этом случае интерпретировать как
интегральные ядра преобразования Фурье на этой поверхности. Из
математической литературы нам известен случай х=р = 0, который приводит к
коническим функциям Мелера {егй <pPlii/2+ip (chg): : р > 0, -оо < р'<
оо}. Что касается пространства Е(2)/Нь то здесь мы приходим к системе
функций
W* (Z) = (р| г D : р > о, - ос < р' < оо},
где функции Бесселя /ц'_ц появляются при разложении Фурье на эвклидовой
плоскости в полярных координатах.
В случае некомпактной подгруппы Н=Н2 мы имеем множество
Н - {(к, Я) : к = 0, 1; - оо < я < Оо} И J <iv (сг) = J <^Я;
X
индексы т', т принимают значения ±. Здесь нельзя сформулировать анализ
Фурье, аналогичный разложению в пространстве 3?2(G/Hi). Унитарное
преобразование (2.7.7), связывающее пространства
(c) Г УЩд&мн) и (c) Г улЩ5?2Ф)°,
я я J
осуществляется обобщенными интегральными ядрами
{аУа'т'т : Р е G-л, к, (к, Я') е Яг, р; х = ±,
гЛ'х'х (?) = t/gc/ц. и (R (?)W, J- (2.7.19)
Здесь мы имеем
= {(*'. I, 0):x' = x, Z = -(l+x)/2 + ig, |>0}U U {(*',/, +):х' = х, / =
0, 1, ...}№', Z, -):х' = х,/ = 0, 1,...},
^2,ы,1,ц) = !(*'> Я') : у! = к, - оо < Я' < оо}. (2.7.20)
Напомним, что, согласно формуле (2.5.74), для дискретной серии функция
ьУЫУ, % отлична от нуля только при t' = t = ti.
3. Редукция произведения двух неприводимых унитарных представлений группы
Р
Прямое произведение двух неприводимых унитарных пред-00 ~ ставлений UPu
Pl и ЦРг,р' группы Р определено как представление вида
((Uk р' (r) Uk р2) {А, а) ф) (р" р2) = {U1-2 (А, а) ф) (р" р2) =
= UpSp\(R(Pl- A), AW'fl)(r)
О (Ро
(r) UpJ'oPl(R(p2-, А), А (р2)~1 а)$(А-1ри А~'р^ (3.1)
G (рг)
(здесь А = А (Л)) в гильбертовом пространстве
*=¦ 0 J ^ /dak(Pl)dac(p2) ^(р,) (r) $%{°}Р2)>
a<Pi)Xa(p2) (3.2)
^0 (рг) (Рг) - $о\> ^i ~ G (Pl)> = 1 > 2,
векторных функций ф; Q(p{) X & (р2) -*¦ §Pl, (r) §Р2г со скалярным
произведением
(ф|ф)1>2 = f dcoo (р{) da0 (р2) (ф (ри р2) |ф (рь р2))р" Рг. (3.3)
Р Pl Рг
а <р,) х а (р2)
Скобки (|>р''р' означают скалярное произведение в пространстве §р', (r)
§Ог- Согласно формуле (1.1.15), имеем
иЪf'iRfa; А), АфГ1 а) (r) ub'o'iRiPA А), А (р^1 а)^
= е1 (Р1+Р2)-Ьира\ (R (py А)) (r) Upa\ (R (р2; А)). (3.4)
В разд. 3.1 для представления (3.1) при ненулевых импуль-
О О
сах Pi Ф 0, р2ф 0 мы построим унитарный оператор, преобра-
192
М. ШААФ
зующий это представление в прямой интеграл неприводимых унитарных
представлений группы Р. Неприводимые унитарные представления, входящие в
это разложение, их кратности, а также соответствующие коэффициенты
Клебша- Гордана подробно описаны в разд. 3.2. Редукция прямого
произведения, когда хотя бы один из множителей имеет нулевой импульс,
кратко рассмотрена в разд. 3.3.
3.1. РАЗЛОЖЕНИЕ НА НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Up"Pi (r) UPl,p' ПРИ р, ф 0 ф р2
Согласно формулам (3.1) и (3.4), представление U1'2 обладает характером
%Р(а)=е1р'а, р = р!+р2 (3.1.1)
на подгруппе трансляций R4 = (I2, R4) в группе Р. Поэтому в представлении
С/1'2 могут содержаться только представления
О О О
Up'p, для которых существуют такие pIeQ(pI) и р2еЩр2),
О
что полный импульс р = Р\-\-р2 принадлежит орбите Q (р).
О
В табл. 3.1 приведены орбиты ("массовые оболочки") й(р), на которых лежит
полный импульс р, в то время как импульсы р{
О О О О
и р2 пробегают орбиты (QpJ и й(р2). Парам (рь р2) отвечают области с= Q
[см. формулу (1.1.2)], в которых меняется
О
стандартный вектор р. Случаи, не перечисленные в этой таблице, легко
можно получить из соображений симметрии. Например, в случае V т2> т1
получается перестановкой индексов 1, 2 и заменой р на - р, так как малые
группы для векторов р и -р совпадают. В дальнейшем будут детально
разобраны только случаи I -IX. Краткое описание разложения для случаев X
и XI дано в разд. 3.3.
