Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
- 00
О -(1+Х)/2+" оо
\ dx\g(x)?=4t j rf/(2/ + "+l)nctgn/|^(/)P +
-оо -U +Х)/2 -/ оо
N
+ 2](2/ + х+ l)U(/)f,
1=0
р'- р|-1; Af = max(p', р, -р'- х, -р - и).
Здесь снова были использованы свойства симметрии (2.6.4), чтобы записать
результат в виде, пригодном при всех значениях ц', ц. Подразумевается,
что при N < 0 сумма равна нулю.
Можно вывести соотношения, дуальные к формулам разложения (2.6.38) и
(2.6.47), которые, по существу, содержат условия ортогональности для
функций иПрежде всего воспользуемся дифференциальными уравнениями
которые эквивалентны гипергеометрнческим, чтобы найти соотношения,
дуальные к обобщенным формулам Гейне и Мелера. Известные формулы
дифференцирования гипергеометрических' функций отвечают следующим
соотношениям:
[А*>' + (/ + х/2)(/ + х/2 -f I)] иХ (z) = О, [Д& + (/ + х/2) (/ + х/2 +
1)] vX (г) = О,
(2.6.48)
(}Г - ц)2 + (2(J/ + х) (2ц + х) z 4z (1 - г)
2 z(l -z)
Используя эти соотношения и дифференциальное уравнение
(2.6.48), можно доказать справедливость следующей формулы:
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 75
С точки зрения теории групп операторы
Л^'ц' и Дц'ц = Л^' 4:1, (ц/ х/2) (ц/ х/2 + 1)
являются дифференциальными операторами, связанными соответственно с
элементами алгебры Ли и с оператором Казимира для группы SU (2) или
St/(1, 1). Функция в левой части формулы (2.6.50) аналитична и однозначна
в комплексной плоскости 2 с разрезом вдоль вещественной оси.
Проинтегрируем теперь равенство (2.6.50) по открытым полудугам
положительно ориентированного эллипса дЕ(х0), х0 < 0, лежащим в верхней и
нижней полуплоскостях [ср. с формулой (2.6.36)]. Используя соотношение
e{n((n'-H)/2 + l)vX,? (х-Ю) - e-ta"|i'-|i)/2 + 0ylO (х -f /0) =
= 1л(-\у+у-+хе-ы^п^т^^'-^12й'^_^(\-х), 0 < х < 1,
(2.6.51)
которое следует из формулы (2.6.18), и формулу (2.6.7) в пределе х0-> -
0, представим левую часть в виде интеграла
ы-'Г < (*-*>•
(2.6.52)
Правая часть вычисляется подстановкой выражения в фигурных скобках в
крайних точках контура интегрирования: х0 - ДО, 1-х0 -f ДО, 1-х0 - ДО,
х0-(-ДО. В пределе х0-> - 0 получаем
- 7 ( - JVfil Г (1 + - ц)
(/+/'+и + l) (/-/') r(l + /'+n+x)
ч.ГГ(1+/ + [1+я) . ( 1 "К 7' "К M- "К - ./"I /г* e EO\
L Г (1 H- / - M) sinnl г (1 +/'-[!) (^.6.53)
Поэтому последние две формулы приводят к соотношению 1
(I' + i + x+i) j dxa'?(x)(-if+*a'*;'Lli_ji-x) =
о
N*;1 l
- g-<Jt(sign (Im i)-sign (Im l')) (Щ-ц)/2 Iх Iх_V/
NX
sy Г(1+/' -(i) ГГ (1 + / + [i + x) . , Г (1 + /' + [i + x) . ./]
x r(i+,/+|i+x) L~(l+/ -ц) 8Щ л/ " r(l-W'-li) 5Ш Л/ J '
(2.6.54)
176
М. ШААФ
которое можно интерпретировать как формулу, дуальную обобщенной формуле
Гейне (2.6.28). Из (2.6.18) для целых /]>р', - р' - х, р, - р - я следует
Отсюда и из формулы (2.6.2) сразу же выводится соотношение
ортогональности
1,1'^М, целое, Af = max(p', р, -р'- я, -р - я).
Для любой комплексной функции f на точечном множестве {М, М -f 1, М -f 2,
...} с компактным носителем, таким образом, имеем
Если интегрировать формулу (2.6.50) по полудугам положительно
ориентированной гиперболы дН (х0), х0 е (0, 1), лежащим соответственно в
нижней и верхней полуплоскостях, то интеграл сходится только при Re [Г +
V2 (1 + и)] > | Re [/ + + xh (1 + х)] |. В этом случае левая часть в
пределе х0->- +0 сводится к интегралу
Правая часть (2.6.50) равна разности значений функции в фигурных скобках
в граничных точках контура интегрирования и при х0->- + 0 приводится к
виду
(- If ,+Х'.'V*(1 -*) = (-1)' й'Х М- (2.6.55)
-ц-и
(2.6.56)
о
о
оо
оо
/(*)= 2 (2/-f x-f 1) й'Х (X) f (/), * S [О, 1],
1 оо
00
J dx\ f (х) I2 = Yi (2/ + " + 1)1 f (I) I2- (2.6.57)
0 l=M
0
(2.6.58)
00
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 177
Окончательный результат,
J йхиЫ W W=y(~ N'XIN'X'
(/' +/ + х+ 1) (/' - I) ' (2.6.60)
Re(/' + -^)>|Re(/+i±^)|,
можно рассматривать как формулу, дуальную обобщенной формуле Мелера
(2.6.32). Теперь пусть р]>1 и /е{0, 1, ... ..., р.- 1). Если значение I'
стремится к целому числу из множества {0, 1, ..., р- 1}, то из формул
(2.6.60) и (2.6.45) немедленно следуют соотношения ортогональности
о б
J dxaX М йХ W = 2/ + х+1 ' ^ ^ ^ {°' 1................
(2.6.61)
Л/ = М - | р' - р I- 1, Л/>0,
М = тах(р', р, -р' - х, -р - х).
Здесь ограничение может быть опущено, так как фор-
мула симметрична; ее справедливость при всех р', р, таких, что А/0,
следует из условий симметрии (2.6.4). Пусть функция ? имеет вид ? (/) =
(/), где G(l)- целая функция,
стремящаяся к нулю при Im/-> ± оо быстрее, чем любая степенная функция, и
симметричная относительно подстановки / -> - / - х - 1. Пусть также /
лежит на прямой - Va (1 + и) +
+ /R = C3. Проинтегрируем соотношение (2.6.60), умноженное
на функцию (21' + х + 1) ? (/') по контуру С3 + е снизу вверх и по
контуру С3- е сверху вниз (0 < е < '/г), причем во втором интеграле
функцию ц*;г' вследствие указанного ограничения
на Re I' следует заменить функцией су'ц- ~х~ . В правой части сумма
