Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 56

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 81 >> Следующая

<2-5-68>
то операция А-* А' = a{Aai переставляет области I и V, II и IV, III и
III'. Согласно формуле (Б.21), имеем
е(а, Л*) = е(о-1, А). (2.5.69)
Так как подстановкой о-* о-1 контур дКх'х(А') переводится в д/С--т (Л),
то из формул (2.5.53) и (2.5.69) получаем соотношение
Vx!l, и (Л*) = Fl4'. V. а (Л). (2.5.70)
Используя для множителя Ях,г(Я) в формуле (2,5.35) равенство 0\N*'1 (Я)
а, = N*'1 (Я), (2.5.71)
лолучаем из формулы (2.5.50) соотношение
иШ 1) (АГК = aiUW. ц (Л\" а,. (2.5.72)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 161
В этом случае нельзя получить аналогов второго соотношения в формуле
(2.5.66), так как операция Л-> Л* = <т,Л<т, в отличие от операции А~*
Л_1* = ГЛГ-1 не может быть представлена как внутренний автоморфизм в
группе SU (1, 1).
С помощью интегральной формулы
Ц>2
1 Г d(d I \(l 1 I id 9 I ,До I |Я|
Ш J IT lQ - fflillffl - "21 1" - "з1 I О - 04 I =
(01
- Г (at + 1) Г (а2 + 1),__________я1+а2+1 ,ai+a3+l|____,-fli-l
2лГ (aj + а2 + 2)
0*2-0", 0*3-0", Оз-% Г1 ' X
XI",+i; а,+а,+2; ((;;i(2.5.73)
а\ + а2 + + 2 = О,
матричные элементы (Л) можно выразить через гипер-
геометрическую функцию F = 2F\- Используя функциональные соотношения для
гипергеометрических и Г-функций, можно суммировать результаты для
элементов Л, принадлежащих областям I или //, в виде
U*sul\P, " (А)х,,, 1Х = (-е sign Im+)x{ X
X [able(tm) {h'-X)nFti (Л) - е~ш _я (Л"1 f)] +
1 / 1 чХ SHI ЗХ/ * X" / пХ, ^ / л \ ч/
+ е(- 1) "2^2" (Л) X
X {itbx'x sinn/емя(Я'-я)/2 - е(гет)*6т', _.te-E'nt<*'+a.)/2]}>
(2.5.74)
е = +1 при Ле/, е== - 1 при Л е//,
г, v г Г (1 + / + х/2 - /Я') Г (1 + I + х/2 + гЯ) . __ Г (1 + ; + н/2 +
iy) г (1 + I + х/2 - /Я) ^
, г (- / - х/2 - а') г (- / - х/2 + а)
I Г (- / - х/2 + ?Я') Г (- / - х/2 - /Я) '
$/я! = Г (1 + / + х/2 - гЯ7) Г (1 + / + х/2 + гЯ) X
X Г (- I - х/2 - а') Г (- I - х/2 + Л),
Ff'l (Л) Re_ Im+ f,v| Re_| Im+ |"гя Г (i - i(V-Я)) Х
XF(-l - x/2 - /Я', 1 + I + к/2 - а'; 1 - г (Г - Я); Im+ Im_), Im± ¦ - Im
(Ли ± Л12), Re± = Re (Л" ± Л12).
Для дискретной серии матричные элементы получаются следующим образом.
Совершается аналитическое продолжение
162
М. ШААФ
интегралов (2.5.53) по I из полосы -1 < Re(/ + 72и) < 0 в целые
неотрицательные точки IJ^O. С помощью формулы (2.5.50) можно показать,
что при этом получаются матричные элементы дискретной серии. Так как
точные формулы (2.5.74) имеют вид, аналитический по I, то их можно
непосредственно применить для дискретной серии, считая число I целым и
неотрицательным. Из-за множителя sin л/ вторая скобка, содержащая
недиаго-цальные по т, т' члены, исчезает; при этом разложение
представлений в пространстве в прямую сумму частей, отвечающих т)=+ и т)
=-, явно демонстрируется еще раз. Отметим, кроме того, что матрица
Гх,г(А) в формуле (2.5.66) также становится диагональной для дискретной
серии, так что условия симметрии (2.5.66) можно сформулировать для обеих
частей порознь. Что касается формулы (2.5.72), то она выражает
антиунитар-ную эквивалентность представлений Us'J'(itи и Us'u\i7i)>
которая следует из формулы (1.3.51).
В разд. 2.2-2.4 мы дали решение проблемы редукции для сужения
представления Uo на компактную подгруппу Я,, определив ортонормированный
базис в пространстве <?>а, в котором сужение (!%\Н\ распадается на прямую
сумму. Теперь можно интерпретировать эти базисные элементы как ядра
унитарного отображения пространства на гильбертово пространство №,я,
комплексных последовательностей, определенных на множестве базисных
элементов с конечной суммой квадратов модулей, на которых сужение Uq \ Н\
распадается в прямую сумму. Это замечание позволяет единым образом
сформулировать наши результаты для компактной группы и для некомпактной
группы Я2. Пусть Я- множество всех классов эквивалентности неприводимых
унитарных представлений группы Я, Я<={ЯЬЯ2}, аеЯ; Яр - множество всех
элементов аеЯ, представленных в разложении сужения Uq\H\ х°- неприводимое
унитарное представление группы Я; п(р, а) = п(р)- кратность представления
ха в сужении Uа | Я; v - мера Планшереля на множестве Я. Было построено
преобразование эквивалентности А], унитарно отображающее пространство ?>g
на гильбертово пространство
Ша = $Ъ.и = (r) / УйЩ С" (2.5.75)
Пространство |>о,я состоит из комплексных функций f = Af, /<= На на
множестве {1, 2, ..., л(р)} Х^р со скалярным про-
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 163
изведением
п (р)
(? 18)он = J ^ И S {аУ &{а) = V 1 S)o- (2.5.76) Яр
Для представления До=ЛЯо.Д~1 в пространстве я имеем
йЪ(0)1Л°) = ха ¦ Qe я,
(2.5.77)
п (Р)
ЯР0|Я = (c) J аГ*(<х) 0
"р L 1 ¦
2.6. УСЛОВИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ И ПОЛНОТЫ ДЛЯ НЕПРИВОДИМЫХ УНИТАРНЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП SU (2), SU( 1, 1) И Е (2)
Рассмотрим комплекснозначные функции комплексных переменных I и 2:
Wp'p (2) = NX (- z)(p'~p,/2 (1 - Z)^'+^2 х \у F (ц' - I, р' + I + и + 1;
р' - р + 1; г)
А Г(р'-р + 1)
( пч'-ч <гГ(ц- + /+х+1) (2.6.1)
Л^;гГ(р + / + и+ 1)
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed