Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 59

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 81 >> Следующая

вещественную отрицательную полуось и ограниченную гиперболой с фокусами в
точках 0 и 1, проходящей через точку z'. Поэтому
-АД
?
41
Г5" • а
Ч N
А
с.-!
Фиг. 2.3.
для 2еЕ(г')ПЯ(г') можно деформацией перевести контур С2 в контур - С3 -
С4, показанный на фиг. 2.3, и вместо ряда (2.6.28) получим
4- f (21 + %+ 1) и\1 (z) е~ш sign <Im 1 (z'):
2 J sm л/ v 1 1 ' n nw ll'll v '
/__________________________1 чМ-'-M- J_ вУ'ц №
' / г, У I '
2 cy^ (z) z-z
z<=H(z'). (2.6.32)
Мы вывели эту формулу, предполагая, что z ез Н (z') П Е (z'). Однако
интеграл существует для всех 2ёЯ(z') и является в этой области
голайорфной функцией, поэтому равенство справедливо во всей области
H(z'). Назовем равенство (2.6.32) обобщенной формулой Мелера.
Действительно, с помощью соотношения
q-Ш sign (Im z)yX, I ф ginl sign (Im -l-У-1 ^) =
.nм , , (Jt (n+-^-'l sign (Iml)-iJW sign (Im z)/2
^ *nctgn/e ' 2' "^/-n-x(1-z),
(2.6.33)
= -(-1 r
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 171
которое следует из формул (2.6.18) и (2.6.4), формула (2.6.32) при р' = р
= и = 0 приводится к хорошо известной формуле Мелера (Бейтмен и др. [23],
стр. 176):
+ оо
J dp^^P-y2+ip(i-2z)P^ll+lp(-(l-2z')) = T±F.
- оо
(2.6.34)
для конических функций Р-у1+1р.
Мы используем обобщенные формулы Гейне и Мелера для вывода теорем
разложения для некоторых голоморфных функций. Пусть / - функция вида
/ (z) = <о^ц (z) F (z), о/* (z) = e'Its!gn(Im2:> (p'-p)/2co?, (z) =
= z(p.'-p.)/2 (1 _ 2)<ц'+и+и)/2^ (2.6.35)
где функция F голоморфна в области, содержащей Е (х0), внутренность
эллипса, проходящего через точку х0 < 0, с фокусами в точках 0 и 1, а
также его границу дЕ(х0). С помощью интегральной теоремы Коши и
определения (2.6.7) получаем из ряда (2.6.28):
оо
f{z)= 2 (21 + УС+ l)s?'(z)f(0,
г=м-
У o^(z). (2.6.36)
дЕ(х)
При стремлении точки z к отрезку *е[0, 1] мы можем стянуть контур
интегрирования дЕ (лг0) вокруг разреза подынтегральной функции между
точками 0 и 1. Тогда с помощью соотношения
e-!Jt sign (Im I) (li'-Ii)/2 |g(Jt {ц'-ц)/2уХ, I Щ_
- = - 0<*<1, (2.6.37)
которое следует из формул (2.6.18) и (2.6.7), вместо формулы (2.6.36)
получаем
оо
/(*) = 2 (2/ + Х+ 1)"Й1 (x)f(l), 0<*<1,
1=М
1
f (/) = J dx/ (лг) ЙЙ (лг), М = шах (р', р, - р' - к, - р - и),
О
1 ОО
f dxI /(дс) Р= У (2/ + и + 1) if (/) f. (2.6.38)
О l=M
172
М. ШААФ
Чтобы записать эту формулу в виде, пригодном для всех значений ц' и р, мы
использовали здесь условия симметрии (2.6.4). Пусть g- функция вида
где функция G голоморфна в области, содержащей гиперболу дН(хо),
проходящую через точку х0 е (0, 1) и имеющую фокусы в точках 0 и 1,
вместе с открытой областью плоскости, которая ограничена этой гиперболой
и содержит вещественную отрицательную полуось. Пусть также функция G
убывает при Rez-*- оо быстрее любой степени z. Тогда из (2.6.32) с
помощью интегральной формулы Коши получаем
Здесь перемена порядка интегрирования допустима благодаря заданному нами
асимптотическому поведению функции G. Заметим, что интеграл по контуру
дН(х0) не переходит в интеграл по замкнутому коцтуру из-за разреза,
связанного с функцией на интервале (0,1). Если точка z стремится к
некоторой точке *е(-оо, 0], то контур дН (х0) можно протянуть вокруг
вещественной отрицательной полуоси. Так как функ-ция в этой области
непрерывна, то из формулы (2.6.40) получим
Наличие нуля, связанного с множителем (21 -j- к -j- 1), позволяет нам
выбрать прямую линию, проходящую через точку / = =- '/2(1+я), в качестве
контура С3 на фиг. 2.3 также и при % = 1. Поэтому в любом случае
подстановка / -> - I - % - 1 переводит С3 в -С3. Благодаря симметрии
функции и^,1 относительно этой подстановки [см. формулу (2.6.4)] только
симметричная часть функции g'
g (z) = со* ^ (z) G (z),
(2.6.39)
g(z) - -j- J dl(2l + x+ 1) ctgя/(z)(0,
Cs + C*
(2.6.40)
dH (Xq)
gW=- у J dl(2l + K+ l)ctg я/"?;,](*) ?'(/),
c3 + c,
- 00 <
(2.6.41)
0
й'(1) = |-(-11 te"* \ dxg(x)v*}^(x).
(2.6.42)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 173
дает вклад в интеграл по контуру С3 в формуле (2.6.41). Соотношение
v$h (z) - (z) = (-l)ti'-li n ctg nl ufrl (z), (2.6.43)
которое следует из формулы (2.6.18), дает
о
4(l) = J dxg{x)a*',l{x). (2.6.44)
- ОО
Точки 1 = 0, 1, ..., р'-1 окружены контуром С4. Функция u$p(z)v*',p(z'),
согласно формулам (2.6.1) и (2.6.15), имеет
полюсы при 1 = 0, 1.........р-1 и р > 1 и регулярна во всех
остальных случаях. Из формулы (2.6.18) сразу следует
Res и*;' (г) = - "*;([ (z), р>1, (2.6.45)
ге{0,1 .... ц-ц ^ ^ 2
так как функция и^,1 _^( 1-г) имеет нули в этих точках.
Итак, для /е{0, 1.............р'- 1} имеем
о
",,л J dxg(x)№,l(x) при 1 = 0, 1................ 1; р^1,
g (0 = g(/) = j ^
О в других случаях.
(2.6.46)
Таким образом, суммируя все сказанное, напишем вместо формулы (2.6.41)
-• {1 + X) /2+1 оо
ё^>=~Ы j d/(2/ + x+ I) л ctg nl й^х) g (I) +
- (1 +Х)/2-/ оо
N
+ ^](2 ^ + i)"^W|(0, - оо<х<0,
1=0
о
&(l) = J dxg(x)dX(x), (2.6.47)
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed