Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
tfPiPi
о ^
пространству 0(р)/Я и frl'p,czH, то с помощью формул Я:#"1,2-*?'1,2, ф' =
Яф",
s (р)
С"Л(Я. <?)= (3.1.51)
= j rfA(p) j ^(а02ф?;г(р)Яр(3)(я(Л(рГ,(7))^.та,
d<P)a йр ^
204 м. ШААФ
мы можем определить унитарное отображение гильбертова пространства ф"1,2
на пространство
',1,2 = (r) [ /dp (р) (c) f У dp (р) ф'1'2,
J J р, р
a (p)Pi-Pi
&''2 = (c) \ Vdv(a)(r) \ Vdv(a)(c) ? ^р =
Р'Р rtPi.Pi rtPi> Рг 1"Ъ. т
л р "а
= ^,,рг(r)^р, (3.1.52)
фр.р^(c) J Уч(р)(c) J /^Т(c)2С>
о \ Р г/
И(р) Wp
$"р2=(c) J j V7^)(r) S c-
?Pl"p2 rr Pl' P2 T,,T2,T
яр Ha
Здесь G(p)Pl'Pl- множество тех значений p eG(p), для которых сужение (°j
| // содержит представление %° при a^HPl P\
Яр'Рг есть множество тех (гсЯР|,р', для которых представление х°
содержится в сужении Upafy\H. Эти члены появляются при перестановке
порядка интегрирования
J dv(a) J dji(p)= J rfp (p) J dv(o). (3.1.53)
?Р,Рг G (p)0 G(°p)P>-P2 ЯРьР2
Скалярное произведение в пространстве f>'1,2 имеет вид
<Ф'1Ф'Г',2 =
= J dp(p) J d?(p) J dy(a) J dv(o)X
Gfp)P.. P2 HPl'Pl нРиРг
X S <^аРаг1ггг|ФаРаг,г!г>~Р'Р = ('Ф1ф>1'2> (3.1.54)
%l, %2> Ti
/ I ,p I ,p \ ~p. p_______
'tстатут I Фстатут '
= J (p>.
ИЙ P йв т'
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 205
С помощью соотношений
ирай(Я(Л(рГ'д)Я(р, q; А)\,а,'Ха =
= UpGi°p)(R(A(p)-lq))x,a,'XO%a(Q(p, <7; А)), (3.1.55)
и
Я(А(рГ' q)Q(p, q; А) =
= R{p\ A)R{a{A~1p)~' A-'q), A = A(A), (3.1.56)
[последнее следует из формул (3.1.26), (3.1.21) и (3.1.15), а также
интегральной формулы
j dRp(q) = j dR^ip(A~lq), (3.1.57)
2(P) X (Л-1 p)
которая вытекает из (3.1.11)] можно записать для произведения
представлений группы Р, перенесенного в пространство f>'1,2, следующее
разложение:
'Слг (Р) = iU'' 2 (А' а) Caw =
= eip-a J dvio-^U^oJRip; А))х,а,х"аЛ'Х^ <ЗЛ-58) К
~ о
Иными словами, в каждом гильбертовом пространстве |>р'р,
которое содержится в разложении (3.1.52) пространства f)'1'2,
представление U'1'2 принимает вид неприводимого унитарного
представления группы Р, принадлежащего к классу эквивалент-
° 12 ности, характеризуемому парой (р, р). В пространстве $>'0 ' это
р.р
представление реализуется с кратностью, которая определяется размерностью
пространства фр'Р2. В целом пространство представления f)'1,2 является
прямым интегралом гильбертовых пространств по множеству классов
эквивалентности неприво-
р,р
димых унитарных представлений группы Р, которое задается
множествами Q,k и G(p) ' \
Дадим еще другую форму этого решения проблемы редукции произведения
представлений группы Р с ненулевыми импульсами. В формуле (1.1.12) мы
определили гильбертово про-
О
странство §р' р, в котором реализуется неприводимое унитарное
(О'1'2(А, а)ф
206 М. ШААФ
о
представление Up'р группы Р. Согласно формулам (3.1.52) и
- ° °
(3.1.36), пространство |>р'р = А$р'р- эквивалентно гильбер-
О
тову пространству фр'р, которое входит в разложение сужения Uq^H.
Используя унитарное отображение вида
fcSw (P)-+Vaw(p) = A-l^dw (р), (3.1.59)
связывающее гильбертовы пространства f>'1,2 и
Ф1' ¦2 = (r) J /dp (р) 0 j ]/1Щ Ф'о-2, & 2 = № Р>0 фР- Р ,
р. р р, р
"ft 3(p)Pi. Pi
можно перевести представление О'1,2 в следующее: (О1'2 (A,
a)$f05w(P)=(VU2(A, =
(3.1.60)
etp'aUP0i°p)(R(p; 4)Hp6w(A04)-4 (3.1.61)
р. р
J4(p)0 j #(p)[l$p"Pi0t/p'
flft G(p) PiPi
Это представление реализуется в пространстве и его можно считать
окончательной формой решения проблемы редукции
О О О о
прямого произведения ?/РьР| ?/р*'Рг прИ р, ф о Ф р2. Области Qk
перечислены в табл. 3.1. Области б(р)РиР\ а также кратность,
О
с которой входит представление Up'p, определяемая размерностью
пространства Фр1'Р2, и коэффициенты Клебша - Гордана указаны в разд. 3.2.
3.2. ОБОБЩЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША -ГОРДАНА ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРЯМОГО
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ UPupl (r) ?/Рг,й ПРИ Р\ф 0 Ф р2
Унитарные преобразования, заданные формулами (3.1.32), (3.1.38), (3.1.44)
и (3.-1.51), которые приводят к редукции прямого про-
о о
изведения двух представлений ?/1,2 =UPuP[ (r),11Ръ Рг, можно свести
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 207 в единое
преобразование:
(р) = j dRp(q) j dv(at) J d\(a2) X
2(p)
хЕЛ CTd,,Plpl s P2p2 )(^ж1аьХ,а2(Р1,Р2),
^Хрт'ст tt[t' PiTiCTi p0x0aj
plxlal p2x2a2/ (3.2.1)
Л,2 = (r) f dan (Pi)d(r)0 (РгМАФЛг)
J o. n.
P i
Q (pt)X Й (pi)
с обобщенными коэффициентами Клебша-Гордана
рр аа- plPl . р2Р2 х
\рх а хх'х2 PiXjOj р2х2а2/
X Uo\(R(pil А (р, q))-\'XiaUPQ\(R(P2> А (р, <7)Г')^а-а,г2а2.
(3.2.2)
Преобразования А(р) и R(A(p)~l q) определяются по формулам (1.1.9),
(1.1.8) и (3.1.19), (3.1.18) соответственно; А(р, q) - по
формуле (3.1.21), R (р^\ А (р, q)) - по формулам (3.1.28) и (3.1.23);
зависимость векторов р и q от р{ и р2 дается формулами (3.1.1) и (3.1.5).
Согласно (3.1.52) и (3.1.61), множество неприводимых унитарных
представлений группы Р, входящих в представление U1'2, определяется
областями интегрирования й*. и G(p)PbP2i
о
кратность, с которой представление ?/р,р входит в U ' , находится из
