Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
вычетов дает
(-1Г'-1* [ё (0 + й (-1 - и - 1)1 = 2т (-1)"'-" ? (/),
а левая часть приводится к интегралу
0 ~(1+*)/2 + /оо
J dxuX (*) J dV [(21'+X + 1 + 2е) (х) ? (/' + е) -
- оо - (1+И)/2-/ оо
- (21' + х + 1 - 2в) о* (х) ? (/' - е)]. (2.6,62)
178 М. ШААФ
Можно изменить порядок интегрирования благодаря заданному
асимптотическому поведению наших функций. Так как правая часть не зависит
от е, то из непрерывности в пределе е->0 с помощью формулы (2.6.43)
получаются обобщенные условия ортогональности:
о
й(1)= J dxax {X) g {х), /еС3 -Цр + 7R,
- ОО
g ^ ~ Ш J dl (2l + х ^п ctg я1йм W й (0. X < О, (2.6.63)
с3
0
J dxI g(x) I2 ="2^7¦ J dl (2/ + x+ 1)л ctg я/| g (/) |2.
-oo c,
Наконец, из формул (2.6.60) и (2.6.45) при следует также
о
J dxOfa (х) йХ' (х) = 0, /еС3, /' е {0, 1, ..., ^}. (2.6.64)
- 00
Легко видеть, что формулы (2.6.61) - (2.6.64) можно объединить:
о
?(/)= J dxaX(x)g(x), /еСзи {0, 1, ..., N),
- оо
2пГ J dl(2l + К+ 1)л:ctgnia*^(x)g(l) +
с,
N
+ ]?(2/+x+l) "*;'(*)?(/), (2.6.65)
1=О
о
J dx I g(*) I2 =-~ J dl (21 + я + 1) n ctg тс/1 g- (/) I2 +
-oo Ci
N
+ 2(2/ + x+1)|?(/) p.
1=0
Можно показать, что разложения (2.6.38) и (2.6.47), а также дуальные
разложения (2.6.57) и (2.6.65), могут быть дополнены до унитарного
отображения гильбертовых пространств ЭР (0, 1) И ЭР (- оо, 0)
соответственно на гильбертовы пространства Z2^
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 179
со скалярным произведением
оо
Ф' I № ^ 2 (2/ + X + 1) f' (0* f (0 (2.6.66)
1=*М
и Ж*-, со скалярным произведением
+ J](2/ + х + 1)Г (/)*?(/). (2.6.67)
В первом случае наше утверждение следует из того факта, что системы
функций
удовлетворяют требованиям, при которых были выведены разложения (2.6.38)
и (2.6.57) соответственно. Здесь ft является образом и наоборот. Как
следует из теоремы Вейерштрасса, система функций {/г} образует полный
ортонормированный базис в пространстве j?2 (О, 1), а система {f;}
представляет такой базис в пространстве Для второго случая мы не имеем
простого аналитического доказательства. В дальнейшем пары формул
(2.6.38), (2.6.57) и (2.6.47), (2.6.65) рассматриваются как унитарные
преобразования и являются основой анализа Фурье в гильбертовых
пространствах 9?2{SU{2)) u3?2(SU(\, 1)), квадратично интегрируемых
функций на группах SU (2) и SU (1, 1) соответственно.
Инвариантная мера Хаара на обеих группах в параметризации (2.6.11) и
(2.6.13) равна
Здесь г е [0, 1] при А е SU (2) и 2 е (- оо, 0] при А е SU (1, 1).
Нормировка выбрана таким образом, что | ^Л=1 для ком-
пактной группы SU (2). Любой элемент / е З!2 (G), G^{SU(2), SU (1, 1)}
можно записать в виде функции параметров а, г, у. Если периодически
продолжить функцию f по параметрам а и у:
{ft:l = M, М+ 1, ft(x) = VV + *+ 1 й'Х(х)}
и
(2.6.68)
SU (2)
f(A) = f (a, z, y) = f (а, г, у + 4л) = / (а + 2л, г, Y + 2л), (2.6.69)
180 М. ШААФ
то, разлагая в ряд Фурье по параметру у. получим / (а, 2, у) = 2 2
^+*/2 (а, 2) е-' v,
Х=0, 1 Ц=-оо
4я (2.6.70)
^+х/2 ("" 2) = j Ж е'(,Х+,</2> ^ (а' Z' V)'
о
где в силу условия периодичности (2.6.69)
/ц+*/2(а + 2л> z) = (-1)Х/|1+х/2(". z)- (2.6.71)
При этом для функции / +и/2 можно записать ряд Фурье по
параметру а:
Jl'es -00
2л (2.6.72)
О
Наконец, если для функции /*,^(2) использовать разложения
(2.6.38) и (2.6.47), то мы получаем
f( а,*, У) =2 2 2(2/ + х+ 1)?Х
и=0,1 ц', ц=-оо i=A(
X e~l *й*'' (х) е~1 v,
2 я , 4Я ^ (2-6.73)
da 2л
о о о
fti=! -wldxl S-el {ii,+n/2) xl! w x
X el(v-+v-№'if (a, x, y), 0<*< 1, Ш{М, M-f 1, ...},
M = max (p', p, - p' -x, - p - x);
+ 00 / -(l+X)/2+ioo
f(a, x, y)= 2 2 1ST I ^(2/+х+ 1)я ctgn/f^X
x=0. 1 Ц', ц= - 00 1 - (1 +x)/2
X e-i ^'+*/2> ай*;г (x) e-i (^+*/2) v -ф
+ J] (2/ + x + 1) e"'ай*ф' (x) e~l Ы2) v } f
j=o
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 181
2Л 0 4л
О -со О
-оо<*<0, /е{-( 1+х)/2 + /[0, + оо)) U (О, 1 TV),
N^M - | ц' - ц |-1.
Здесь сумму по l^N следует опустить при N < 0. Заметим,
it /
что функции й',^ и й*;^ вещественны, так что, меняя порядок суммирования
и используя формулы (2.2.4) и (2.3.15), выражение (2.6.73) можно
переписать в следующем виде:
f(A)= 2 i(2/+*+l) 2 №sc/wM)L.
л=0, 1 1=0 и'. ц=-:-л
fail = J dAUsu (2)(А)^ (А),
SU (2)
4gS1/ (2), I <= (0, 1, ...};
- (1 -f- Х)/ 2+ 2 оо
| й/ (2/ + х + 1) л ctg л/ X
Х=0, 1 v -(1+Х)/2
+ О0
/и)= S =0, 1
X fX' °USU (l! 1) (71)^, + (2.6.74)
- оо
+ 2 W + и + 1) 2 fpV +Usu\u в (71)^ +
И=2 + 1
+ fZ'J' Usu'd, 1)(4)^,
ц', ц=-I-л-1 -J
J dAUlbV.M^fiA),
1=о
?х, /, Л Гр'ц =
SU (1, 1)
Ле5[/(1, 1), /<={-(1+х)/2 + /[0, + °°)}U{0, 1, ..
.}•
Используя условия ортогональности и полноты для рядов Фурье (2.6.70) и
(2.6.72) и для разложений (2.6.38) и (2.6.47), можно записать формулы
Планшереля для групп SU (2) и
J82 М. ШААФ
SU (1, 1):
оо I
j dA\f(A)f= 2 ^(2/ + и+1) 2 If^'l2,
SU (2) x=0, 1 1=0 Ii'\i=-l-v.
J dA\f(A)? =
SU(Ul) | -(.^/2^00
= S Йг I dl(2l+x+ l)nctgnZX
к=0, 1 1 -(1+я)/2
r 00 OO
X ? lf^'°|2 + ^(2/ + x+1) x
