Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мишель Л. -> "Симметрия в квантовой физике" -> 66

Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.

Мишель Л., Шааф М. Симметрия в квантовой физике — М.: Мир, 1974. — 251 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavkvantovoyfizike1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 81 >> Следующая

рей0'
•рей = {яе(3) : п > 0}.
• q е й* = {± me(0) : т>0},
й* при (р, • р2)2 - р\р1 > 0.
Q0/ ={"е<2) : п>0} при (Pl 'Р2? ~ P2iPl<°-
ООО О
Подгруппа стабильности, G (р, q) с= G (р), не меняющая q, имеет вид
G(p>q) = G(p)f\G(q). (3.1.15)
Согласно табл. 3.2, существуют только две такие подгруппы:
Г (е141/2 0 \ 1
Hi = G(ew, е(3)) = |С(ф) = |^ Q е_<ф/2] : 0 <Ф < 4л |; (3.1.16)
и -г, \ - \п( ъ\- /ch^2 sh|/2\ в=± 1
Н2 - С(е(3), е(2)) - JZ?(e, I) -e^iji/2 ch |/2 / * - оо <?< оо
J '
о О
которые были введены в разд. 2.1. Если рей0, рей0', то
о О 0 0
G(p, q) = H2> в остальных случаях G(p, q) = Hl. Так как по-
О
верхность 2(р) гомеоморфна пространству классов смежности
ООО О
G (p)/G (р, q), то каждому вектору ре2(р) можно поставить в однозначное
соответствие представитель одного из этих
О
классов, R(q) <= G (р), такой, что
q = A(R(q))q. (3.1.17)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 197
Параметризуя поверхность 2(р) формулами
V Ф [sin р (sin фе(1) + cos фе(2)) + cosPe(3)],
0<Р<л, 0<ф<2л при рей* qt
± V- Ф [ch ge(0) + зЬ|(созфе(|) - зтфе(2))],
Q0,
0<?<оо, 0<ф<2л при рей0, рей*, [/<72[хе(0) + (этф-хсо5ф)е(|) + (соэф +
xsn^)e<2)], - оо < х < оо, 0^ф<2л при рей0, <7<е Q0', можно выбрать
представители следующим образом:
(3.1.18)
R(q) =
А (ф, ф) при рей , q <
Л(|, ф) при peQ°, q^Qd
А'(х, ф) при рей0, q е Q0'.
Здесь Л(?, ф) и А'(х, ф) - матрицы, определенные формулами (2.7.1).
Элемент dR(q) поверхности 2(р) в точке q, согласно формулам (2.7.2) и
(3.1.14), имеет вид
?2°.
(3.1.19)
dR (q) =
dqp 2п
4^ d( sh21/2) при p
dtp dx ~2n 2
d (sin2 p/2) при pe2J
Q°,
при p e Q°,
<7<
О
<7<
О
Я 1
Q°,
Q*, (3.1.20) Q0'.
С помощью матриц A(p), определенных формулой (1.1.9), мы можем теперь
ввести операцию, которая одновременно переводит
О О
р в р и q в q\
А(р, q) = A(p)R(A(p)~lq), A(р, q) = А (А (р, <7)), (3.1.21)
где
A(р, q)p = p, А (р, q)°q = q. (3.1.22)
Очевидно, что элементы А(р, q) являются представителями клас-
О О
сов смежности, образующих фактор-пространство SL(2, С)/G(p, q) Импульсы
рх и р2 переводятся операцией А (р, q)~l в систему
О О
отсчета, задаваемую векторами р и q. Обозначив
^ = A(p, q)~'pi, р2 -А(р, <7) 1 ft,
(3.1.23)
198
М. ШААФ
можно записать
fii + fii = P, (Р2 'P)pi - (Pl -Р)р2 = р2<]' (3.1.24)
О О .
В упомянутом выше важном случае ри p2^Q преобразование вида (3.1.23)
переводит импульсы в систему центра масс и поворачивает их в направлении
вектора в(3).
Для редукции представления UU2 в формуле (3.1) необходимо найти редукцию
прямого произведения представлений малых групп: U%(R(p\\ A))<3U%(R(p2\
А)). При этом возникают
О
две трудности. Во-первых, группы G^G^) и G2 = G(p2)t вообще говоря,
различны; во-вторых, даже если Gl = G2, то в общем случае различаются
аргументы R(pu А) и R{p2, А). Поэтому мы найдем прежде всего унитарное
преобразование представления С/1,2, приводящее к совпадающим аргументам
представлений ?/&, и U%, принадлежащим, естественно, пересечению G, Л G2.
Из формул (3.1.16) и (1.1.5) видно, что во всех случаях
G (р, q)c=Gl(]G2. (3.1.25)
В частном случае G, = G2 может существовать метод редукции, отличный от
применяемого здесь общего подхода. Хорошо известным примером такого
метода может служить схема спин-орби-
° ° +
тальной связи, использованная Йоосом [1] в случае ри р2ей . Выделим
теперь из выражения (1.1.15) для преобразования
О О
R(Pi\ А) (/=1, 2) общий элемент, содержащийся в группе G (/?, q). Для
этого запишем преобразование Ripp, А) в виде
R(Pi, А) = A (pi)~l А (р, q) Q (р, q; А) X
ХА(А(АГ'р, А(А)-1 qY1 А(А(АГ1 Pi),
Q(p, А) =
= А (р, q)~l АА(А(А)-1р, А (Л)'1 q) s G (р, q).
Преобразование А(р, q)~' A{pt) переводит стандартный импульс'pt
О О
в стандартную систему отсчета (характеризуемую р, q), т. е., согласно
формуле (3.1.23), мы имеем
А(р, ?Г1Л(л)д==Д==Л(Д)]э(. (3.1.27)
Поэтому преобразование
R (РГ. Л (р, q)) я. А (Pi)"' А (р, q) A (fit) (3.1.28)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 199
о
является элементом группы G (р^, и можно записать
R{pi\ А) = R (pi, А (р, q))A(fit)~lQ(p, q\ Л)Х
ХЛ(/)г)Я(Л(Л)-'р/; А{А{А)~1р, A{ATlq))~\ (3.1.29)
Здесь мы использовали вытекающее из формулы (3.1.24) очевидное
соотношение
Api = pi при Л €=!.?. (3.1.30)
Согласно формуле (3.1.16), преобразование Q(p, q; Л) является либо
вращением вокруг оси е(3) в плоскости (1, 2), либо пре-
о
образованием Лоренца в плоскости (0, 1). В первом случае р
О
и q лежат в плоскости (0, 3), так что преобразование А (Д), согласно
формулам (1.1.8) и (1.1.9), является преобразованием Лоренца со
скоростью, направленной по оси е^). Во втором
О О
случае р и q лежат в плоскости (2, 3), и преобразование A (pi) является
вращением в этой плоскости. Следовательно, в обоих случаях операция А (Д)
коммутирует с элементами группы
О О
G(p, q). Именно поэтому представители А (р) были выбраны согласно
(1.1.9). Итак, формулу (3.1.29) можно привести к виду
R {ре, A) = R (рр, А (р, q)) Q (р, q; А) X
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed