Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
Т1 = sign (р + х/2)}, (3.2.31)
то из формулы (3.1.53) получаем
a) GCp)*J"*^ =
= {(х, /, 0): X = х, + х2 - 2х,х2, / = - (l+x)/2 + ip,
р ^ 0} (J {(х, /, +): х = X! + х2-2х,х2, х/2 ^ + х/2 ^
< /, + Х|/2 + ро+Хг/2} (J {(х, /, -) : х = Xj + х2-2x^2,
х/2 < / + х/2 < /i + "с,/2 - ро - к2/2},
216
М. ШААФ
ЯГ,'и/о*л = {(к', р)%' = х, ро + х2/2 - - х,/2 <
^ р + х/2 ^ pa + х2/2 + /i + Xj/2},
ЯГ/'й ±2Цл = {(х', р) : х' = X, max (/ + х/2 + 1,
± (ро + Хг/2) - - Х|/2) < ± (р + х/2) <
^ ± (Ро + х2/2) + /i + х2/2},
б) G (°Р)*'1" ИгР =
(3.2.32)
= {(х, /, 0) : х = х, + х2 - 2xix2, / = - (1 + х)/2 + /р, р>0} (J и {(к,
/, +) : х = К[ + Х2 - 2х]Х2, />0} и {(х, I, -) : х =
= Xj+X2 - 2XjX2, 1>0),
Я
и,;,, игр 1, и/о
> X!. И2Р
= {(х', р) : х' = X, оо < р < оо},
ЯГЙГ = {("', р) : к' = х, ± (р + х/2) > / + х/2 + 1}.
Кратности представлений, согласно формуле (3.1.52), равны
a) d^",t^ = 2ll + Kl + 1,
2/] -(- Xj -1 для х/2 ^ / -f- х/2 ^
< -Х[/2± (р0 + х2/2) - 1,
± (ро + х2/2) + /, + Х|/2 - / - х/2 для + (Ро + х2/2) - /, - х,/2 - 1 ^ /
+ х/2 ^
^ ± (р0 + Хг/2) + /| + хх/2 - 1.
.и,/,. и2р0 Ыи/± =
б) с?Й'И!Р = к о.
Коэффициенты Клебша - Гордана имеют вид
(3.2.33)
/рх/л
а) V ; 11
PlX,/i Р2К2Р0
) = Gsl/(k о (/? (Л (р) iq))ll,lx X
хг/&'й (ЖРГ, ^(р, q))~\_
X
/ px/ri б) (№. ; I"?
ХЙеГЧЖр"; А (р. ""-'),
Р/X ]/1 р2х2р\ ггИ,/, 11 ( D ( \ / Y\ ч/
Xt/&fc>(№; Л(р, 9))_1)^Х
X t/g'(2)4/? (р2; Л(р, 4))Л-д1(1г,
(3.2.34)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 217
Матричные элементы для группы SU (1, 1) даны в формуле (2.3.15), для
группы St/(2) - в формуле (2.2.4) и для группы Е(2) - в* формулах
(1,4,13) и (2,4,4).
О О
V. р, = mi6(o), р2 =- Область Qv, согласно табл. 3.1,
имеет вид
Qv =
(me(0): 0 < т< тх - т2} U {ле(3) : п > 0} (J
U{e(0) + е(3)} при т, > т2, (3,2.35) [пв(з): п > 0} (J {0} при т,
= т2.
V. 1. р е {те(0) : 0 < т < т, - т2). Здесь Gj = G2 = G(p) = - - -
= St/(2), G(p, q) = Hu и можно использовать результаты для случая I.
V.2. р е= {пе3: п >0}, Здесь Gl = G2 = SU (2), G\p)=SU {1, 1),
00
G (р, q) = H{. Для класса р, = (и*, /г), /^(1, 2), имеем
^1. Р,- = {(ХН ^i) ¦ = %1' ^ ^ ^ ^ М'
Подстановка (3.1.43) дает
Я*1*1' = {(и, р) : X = X] + Х2 - 2XjX2,
- /, - Xj/2 - /2 - х2/2^ р -f- x/2 ^ /j -f- Xj/2 -/2 -х2/2} ^
яг,'^'2 = {(", р): х = х" (3-2.36)
max (- l\ - Xj/2,p + х/2 - /2 - х2/2) ^
< р + Xj/2 < min (/j + Xj/2, p + x/2 + /2 + x2/2)}.
Теперь мы имеем
G(p)4>|i = SG(l. 1)я.^ =
= {(x', /, 0):x' = x, / = -(1 + x)/2 + /p, p>0}U U {(x', /, rj): x' = x,
0 ^ ^ | p + x/2 | - x/2 - 1,
Л = sign (p + x/2)}, (3.2.37)
218
М. ШААФ
и потому, согласно формуле (3.1.53),
G (р)*"'" = {(х, /, 0): х = х, + х2 - 2щк2,
1 = - (1 +х)/2 + ip, р> 0} (J {(х, I, +) :х = х,+х2-2х,Х2,
0< / < /, + х,/2 + 12 + х2/2 -х/2 - 1} U (J {(х, I, -) I X = Xj + Х2 -
2XjX2,
о < / < li + х,/2 + /2 + х2/2 - х/2 - 1}, (3.2.38) = {(х', р) : х' = х, -
/, - Xi/2 - /2 - х2/2 <
^ р + х/2 ^ /] + Xj/2 +12 + x2/2),
?*,/, ЯА = {(x,; p) ; x' = x, / + x/2 + 1 ^ ± (p + X/2) <
^ h + "i/2 + h + x2/2}.
Для кратностей из формулы (3.1.52) имеем dm' = (2/, + xj + 1) (2/2 + х2 +
1),
jx,/,. к2/, (3,2.39)
"иг ± =
(2/0 + х0 + 1) (/, + Х[/2 + /2 + х2/2 - / - х/2 - /0 - х0/2),
2/0 + х0 = min (2/j + X], 2/2 + х2) для /^|/[ + Xi/2 - /2 - Хг/2 | - х/2,
у (^1 + Xj/2 + /2 + х2/2 - /-x/2) (/j+Xj/2 + /2+х2/2-/-х/2 + 1) для | li
+ xj/2 - /2 - х2/2 I + х/2 ^ /, + х^2 + /2 + х2/2-1-Коэффициенты Клебша -
Гордана равны
PlXj/l ^ Р2и2^2\ PiM-i ' Р2Р2 '
/ ри/ч
V :
= f/s?/'(il 1) (# (Л (р) 1 t/si/Vs) (/? (Pi; Л(р, q))
X U%\2)(R (р2; Л (р, р)Г V*. (3.2.40)
где матричные элементы для группы SU (I, 1) даны в формуле
(2,3.15), а для группы SU (2) - в формуле (2.2.4).
О
VI, Pi = е(0) + во), Р2 = б(0) + е(3). Согласно табл. 3.1, область Qyi
имеет вид
?2vi = [tne(о) ". т > 0} U{e(0) -Ь е(з)}- (3.2.41)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 219
Поэтому Gi = G2 = ?(2), G{p) = SU (2), G(p, q) = Hl. Различаем три
случая: а) р< = (хг, рг); Hi,Pi = {{ki, р<)}, ге={1, 2}, для двух
одномерных представлений;
б) Pi = (xj, и-i)" Р2 = (к2. Р2); Яцр, = {(кь Pi)},
#1. р, = {("2. И2) •' Х2 = И2> - °° < ^2 < °°}>
для произведения одномерного и бесконечномерного представлений;
в) Рг = (кг, Рг): Я, р;= {(х'г, рг) : х'г = хг, - оо <рг < оо],
(1, 2},
для двух бесконечномерных представлений группы Е(2). Из подстановки
(3.1,43) следует
а) //Г1*1''
= {(х, р) :х = Х! + х2-2х!Х2, P = Pi + р2 + Х!Х2},
= ((х, р): х = х,, р = pi},
б) Н^''ИгРг = {(х, р) : х = Х] + х2 - 2х,х2) - оо < ц < оо}, (3.2.42)
ЯГ,'ирИгР1= {(х, р):х = хь р = р,},
в) Hi'p" ИгРг = {(х, р) : х = X] + и2 - 2xiX2, - ОО < Ц <
оо},
= {(х, р) : х = хь - оо<р< оо}.
Так как очевидно, что
G{p)"<VL = SlT{2)и.р = {(х', /): х' = х, / ^| р + к/2 | - х/2}, (3.2.43)
то, согласно формуле (3.1.53), имеем
а) G (р)И|Р" = {(х, /): х = щ + х2 - 2х,х2)
/ + х/2 р, + к,/2 + р2 + х2/2 |},
Я?,1*/ *гР! = {(к', р) : х' = х, р+х/2 = Pi+Xj/2-f Ц2+Хг/2},
