Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
б) G(р)*1Р1' *2р2 = {(х, /); х = х, + к2 - 2х,х2) / ^ 0}, (3.2.44)
H^i*2р2 = {{%', р) : х' = х, - / - х < р < /}.
в) G {рТ'р" *2Рг = {(х, /) : х = Xj + х2 - 2х!Х2, / ^0},
Ш:рй *2р2 = {{%', р) : х' = х, - / - х < р < /}.
220 м. ШААФ
По формуле (3.1.52) кратности равны
а) 1,
б) ?ЙГ'*2р2 = 2/ + х + 1, (3.2.45)
в) d?p"*2p2= Ко-Коэффициенты Клебша - Гордана имеют вид
//Ж/ PlXjpj р2Х2р2\_
Vp Pi ' р2
= Usu (2) (Я (Л (р) 1 р))^ "1+"1+И1И7 X Х^яГ2)Р'(/?(РГ. Л(р, р))-1) U°i и
(/? (р2! Л(р, р))-1).
/ рк1 PlXjPi Р2Х2Р2 \
(рр7' ц Р[ ' Р2Р2
= t/sii (2) (R (л (р)-1 р))^ и°Е & р' (/? (Р,; А (р, р))-') х
XUpJ\?(R(P2, А (р, р))_1),-"" "г.
О о о
/рх/ ^ _ Р1Х1Р1 р2х2Р2\ (3.2.46)
В N пи/' п.п., ' п"п.о ' •
PlPl Р2Р2
~ a w "\г> 1//
'РР
= C/St/сэ (R (А (р)-1 р)) . C/g'ca1 (R (Рй А (р, р))_1)йи, X
X t/?(2)2 (я (р2; Л(р, рГ1)^,^
причем матричные элементы группы SU (2) даны в формуле (2.2.4), а
элементы группы ?(2) - в формулах (1.4.3) и (2.4.4).
О
VII. pi = 6(0) + б(з), р2 = "26(3). Этот случай, согласно
табл. 3.1, характеризуется областью
Qvn = {me(0) : m > 0} (J {пе(3) : n > 0} (J {e(0) + e(3)}. (3.2.47) VII.
1. pi e {me(0) '. m > 0}. Здесь G, = ?(2), G2 = SU{\, 1),
О О О
G(p) = SU (2), G (p, q) = //,. Различаем два случая: a) Pi =(xb pi); HUPl
= {(xj, pi)} для одномерного представления группы ?(2) и
б) pi = (хр pi); НIpi = ((х'" р,): х' = хр - оо < р, < 00)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 221
для бесконечномерных представлений. Для р2 = (х2, /2, %) имеем
^1, *АР = {(Х2> ^2) 'К = *2> - °° < "2 < °°}>
^l, v-iU ± = {(х2' ^2) • х2 = х2> - (И-г "I- хг/^) ^ к "Ь хг/2 "Ь 1}>
и поэтому подстановка (3.1.43) дает
а) Н*т' *л° = {(и, р): х = xi+x2-2xix2) - оо < р < оо},
Н*'*1" ± = {(к, р) : х = х, + х2 - 2xiX2)
± (р + х/2) > /2 + х2/2 ± (р[ + xj/2) + 1},
Й1%*г1л = {(х, р) : х = xi, р = pi},
б) Кг/Л _ ((х, р) . х = Х[ + х2-2xiX2, -оо <р< ОО}, ^ ^
Hi%^h° = {{к, р):й = х1, - оо < Д < оо},
± = {(й, р) : х = хь
- оо < ± (р + х,/2) +1 + (р + х/2) - /2 - х2/2 - 1}.
Легко видеть, что
G(р\, " = Slf{2)", " = {(х, /); х' = х, / >I р + Х/2 | - х/2} (3.2.49) и
потому, согласно формуле (3.1.53), имеем
.a) G {p)K[V"' *л° = {(х', /) : х = X) + х2 - 2xjX2, /^0},
Я*1 и/ ^ = {(х', р): х' = х, - / - х < р < /},
G (р)и'Р1'± = {(х, /) : х = Xi + х2 - 2х!Х2,
/ > max (0, /2 + х2/2 ± (р, + х,/2) - х/2 + 1)},
H*$i щ'2 ± = {(х', р): х' = х, max (- / - х/2, /2 + Хг/2 ±
± (р, + х,/2) + 1)< ± (р + х/2)</ + х/2}, .
(3.2.50)
б) G (р)*'р1'иЛ11г = {(х, /): х = х, + х2 - 2х,х2, / > 0},
*,"л, _ ^ . х/ = х> _ / _ х р <^ /}.
222
М. ШААФ
Из формулы (3.1.52) находим кратности
а)
.и,ц"и,/20
йуц
= 2/ -f- х + 1,
,и,ц" и2г2±______
йи/ -
2/ -|- х -(- 1
для 0 ^ ^ - /2 - х2/2 Т (pi + Xj/2) - x/2 - 1, / + x/2 - /2 - x2/2 T (p[
+ Xj/2)
для / + x/2 ^ - /2 - x2/2 + (p[ + Xj/2) - 1,
0) Uytl = N Q.
Коэффициенты Клебша - Гордана равны
(3.2.51)
/рх/ а) 11
PlXjfXj р2Х2/2Т12
) =
= (Я(Л (рГ1 p)U ?°Н(2Г (я (Pi; л (р, р)Г') X Х^^лижрг; л (р, р))-1)^-
^.,^,
/рх/
6) ( ,1 Ц?
PiX,p, р2Х2/2Т12
(3.2.52)
>¦
Р1Р1 Р2Р2
= t/si/и (я (л (p)-'p)U и%1' (я (Pi; л (р, р)Г V.X
X Usu (V, ц2 (Я (рг> Л (р, р)) )ц-д, ц2-
Матричные элементы группы St/ (2) даны в формуле (2.2.4), группы ?(2) - в
формулах (1.4.13) и (2.4.4), группы SU (1, 1) - в формуле (2.3.15).
VII.2. р ^ {"6(3): п>0}. Здесь G{ = E (2), G2 = G (р) - SU (1, 1),
G(p, °q) = Hj. Множества Hp"Pl и Я+.^цте же, что в случае VII. 1 [см.
формулы (3.2.48)]. Однако
gc^.^sgo, 1 )*.,* =
= {(х', /, 0) :х' = х, / = -(1 +х)/2 + /р, р>0}11 U {(х', /, л) : х' = х,
0 ^ ^ | ц + х/2 | - х/2 - 1,
Л = sign (р + х/2)}, (3.2.53)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 223
так что из формулы (3.1.53) следует
а) G {р)*'р" *2h0 =
= {(х, I, 0) : х = Xj + х2 - 2xiX2) / = - (1 + х)/2 + ip, р^ 0} (J и {(и,
I, +) х = X] - 2х!Х2, / > 0} и
U {(и, /, -): х = х, + х2 - 2xiX2) I ^ 0}>
= {(х, /, 0) : X = х, + х2 - 2х,х2) / = - (1 + х)/2 + ip, р > 0} (J и
{(х, I, ±): х -Xi + х2 - 2х,х2) />0}и (J {(х, I, Т) I х = Х| + х2 -
2х!Х2) 0 ^ ^ - /2 - х2/2 +
+ (Pi + х,/2) - 2}, ЯГ,'и/'оИ!/1° = {(х', р) ; х' = х, - оо < р < оо},
ЯЙЬИЛ± = {(х', р): х' = X, ± (р + х/2) >/2 + х2/2 ±
± (pi + Xj/2) + 1}, = {(х', р)'. х' = х, ± (р + х/2) ^ / + х/2 + 1},
= {(х', р)х' = х, ± (р + х/2) ^ max(/ + х/2 + 1,
/2 + х2/2 + 1 ± (р, + х2/2))},
НТ^т1± = "х', р) : х' = х, /2 + х2/2 + 1 + (р, + х,/2) <
^ dh (р х/2) - I - х/2 - 1},
б) G (р)ЩРи *г1л = {(х, I, 0) : х = Xi + х2 - 2xix2,
/ = - (1 + х)/2 + ip, 0}U U {(х, I, +)'. х = Xj + х2 - 2xix2, / ^ 0} (J
11{(х, I, -) : х = х, +х2 - 2х]Х2, /^0}, НиР*ю1Щг = {(х', р) : х' = х,
- ОО < р < оо},
н№'1 ?hrk = {(к', р): х' = X, ± (р + х/2) > / + х/2 + 1}.
(3.2.54)
Согласно формуле (3.1.52), кратности равны
а) й^"щ1л =
__ 1 - /-х/2- /2-х2/2 + (р1+х1/2)-1 для т]2 = -т] = ±,
_ 1 Ко В других случаях,
*iUi\z w (3.2.55)
б) й-л1г\ = "в1
224
М. ШААФ
Коэффициенты Клебша - Гордана имеют вид
о о о
/ pxlr\ Pl^iHi Р2ЩЬЦ2\
