Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
много компонент, которая не может быть разбита на конечные тензоры или
спиноры.
1. Уравнение (1) можно вывести из вариационного принципа;
б J* тр \^- -{- (а, р) - pmcj ф dV dt = 0. (2)
Релятивистская инвариантность требует, в частности, чтобы форма фрф была
инвариантна.
Если потребовать теперь, чтобы энергия покоя всегда была положительной,
то все собственные значения Р должны быть положительными, а форма фрф-
положительно определенной. Тогда можно посредством неунитарного
преобразования ф->ср привести эту форму к единичной:
#ф = ФФ- (3)
Подставляя в (2) выражение для ф через ср, получаем
б / ф[у°-т-+ (Y. р) - mc\q> dV dt = 0, (4)
откуда следует уравнение, эквивалентное (1),
[yo~ + (Y> р) - mcjqi = 0. (5)
Теперь нам нужно найти закон преобразования ср под действием лоренцевых
поворотов и^ такой вид матриц у0, ух, уу, уг, чтобы соблюдалась
релятивистская инвариантность вариационного принципа, и, следовательно,
подынтегральная функция в (4) была инвариантна.
Приступая к установлению закона преобразования ср, заметим прежде всего,
что инвариантность формы qxp означает, что мы должны рассматривать только
унитарные'преобразования. Кроме того, чтобы избежать лишних усложнений,
рассмотрим закон преобразования только для бесконечно малых
преобразований Лоренца, интегрированием которых можно получить любое
конечное преобразование. Введем инфинитезимальные
242 "• майорана
преобразования по переменным ct, х, у, z: ООО ООО 0 0 0 -1 .0 0 1 О
Sx- I n п П _ 1 Г
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 -1 0 0
О о 0 0' 0 0-10
тг =
5г = 0 1 0 0 1
о о 0 о/
0 1 0 °\ /° 0 1
1 0 0 0 1 / о 0 0
0 0 0 0 / Т = 1 У 1 0 0
0 0 0 о/ \0 0 0
(6)
тк=\
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0-
и обозначим
ах = iSx: о,у = iSy, az = г S.
bx = - iTx, by = - iT y\ bz = - гТг. ^
Операторы а и b должны быть эрмитовыми в унитарном представлении
(справедливо и обратное утверждение); кроме того, поскольку
инфинитезимальные преобразования должны быть интегрируемыми, то эти
операторы должны удовлетворять следующим перестановочным соотношениям,
которые можно вывести из формул (6) и (7):
{ctXy cty) tcizi (@х> Ьх) 0, (a!*, by) ibzy
{clx> bz) - ^byy (bXi by) ibz•
Другие соотношения можно получить циклической перестановкой переменных х,
у, z.
Простейшее решение системы (8) в Эрмитовых операторах дают следующие
бесконечные матрицы, в которых элементы нумеруются двумя индексами: / и
т, причем следует разли-
."135 • • .
чать две возможности:/ = -, у, ,.т, - ] - 1,_..,, - /;
релятивистская теория частицы с УГЛОВЫМ МОМЕНТОМ 243
или же у = 0,1, 2, m = j, у-1, ..., -у:
(j, m\ax - iay\j,m+l) =V(j + m+ 1)(/ -m).
(у, т | ах + iay | у, т - 1) = V(/ + m)\j - т + 1),
• (j, т \az\u т) = т,
(у, m\bx - iby\j-\-\, m+l) = - j\r(j + m + l)(j + m + 2),
(у, m\bx - iby\i - \, m+ 1) = у]/(у-m)(y--m -1) , (?)
(у, m \bx + гЬу |/ + 1, m -• 1) = у /(у - m + 1) (у - m + 2) ,
(/. m | ft* 4- гЬу |y - 1, m - 1) = - у /(/ + m) (j + m + 1) ,
(/, m | bz\/ + 1, m) = y l/(/ + m + 1) (/ - m + 1) ,
(y, m \ bz\ j - 1, m)=Y /(/ + m) (j - m) .
Принимая, что при инверсии относительно начала отсчета компонента ц>1<т в
зависимости от у попеременно не меняется или меняет знак, приходим к
выводу, что Ь есть полярный вектор, в то время как а - аксиальный вектор.
Будем называть величину, на которую действуют операторы а и Ь,
бесконечным тензором или бесконечным спинором индекса нуль в соответствии
с тем, принимает у целые или полуцелые значения. Термин "индекса нуль"
означает, что инвариант
Z = ахЪх 4" ауЬу 4~ a.zbz (10)
равен нулю.
Более общие бесконечные спиноры или тензоры могут быть определены для
любой величины Z. Спиноры могут быть получены следующим простым образом.
Рассматривается общее
решение уравнения Дирака без внешнего поля и связанное
с ним релятивистское преобразование
ф(<у, t)-+i>'{q, t). (11)
Тогда преобразование
ф(<7, 0)->г|/(<7, 0) (12)
является унитарным, и если вместо произвольной функции ф(<7, 0) мы будем
рассматривать только функции, отвечающие определенному собственному
значению z0 оператора (10), который обладает непрерывным спектром,
простирающимся от - с" до 4~ °°> т0 мы найдем функции, которые
преобразуются по формуле (12) как бесконечные спиноры, каждый из которых
входит ровно два раза.
244
Э. МАЙОРАНА
Операторы ах и Ьх имеют в представлении (12) вид
аналогичные выражения можно записать для операторов ау,
2. Теперь следует определить операторы уо> Y*> Уу, Уг так, чтобы форма
(4) была инвариантной. Поскольку мы рассматриваем только унитарные
преобразования, данные операторы преобразуются как эрмитовы формы, с
которыми они связаны, и, следовательно, в силу инвариантности
подынтегральной функции в уравнении (4) необходимо, чтобы они составляли
кова-риантный вектор (у0, ух Уу, yz ~ ct, - х, - у, - z).
Формы фуоф и - фуф, очевидно, интерпретируются как плотности заряда и
тока. Операторы у должны удовлетворять перестановочным соотношениям:
а также другим соотношениям, которые можно получить циклической
