Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
'рр' ' ^ Pi ' № '
/ ?>х/Т1 PiXiPi PMoLr\o\
- Usu\ud(R(^-(p) ' p))h'h Ue'(2)' (R (Pi) A(p, q)) )дц, X
Матричные элементы группы SU (I, 1) даны в формуле (2.3.15), группы Е(2)
- в формулах (1.4.13) и (2.4.4).
VIII. р° = е(0) + е(3), Р2 = -е(о) -g(3)- Согласно табл. 3.1, область
Qvni имеет вид
При этом G, = G2 = ?(2), G(p) = SG(l, 1), C(p,q) = H{. Мы можем
воспользоваться классификацией вариантов "а", "б" и "в" в случае VI;
области Й\у и Н\у?2 даны в формулах (3.2.42). Используя формулу (3.2.53),
получаем из формулы (3.1.53)
~ {(х, /, 0): х = Х[ + х2 - 2х,х2, / = - (1 + х)/2 + ip, р > 0} U U {(х,
/, тф : х = X] + х2 - 2Х[Х2, 0 ^ ^
^I Pi + Х[/2 + р2 Хг/2 | - х/2 - 1,
г) = sign (р., + Х[/2 + р2 + х2/2)},
= {(х', р): х' = х, р + х/2 = р[ + Х[/2 + р2 + х2/2},
== {(х, /, 0); х = Х[ + х2 - 2х,х2, / = - (1 + х)/2 + ip, р > 0} и U {(".
U +) : х = X] + х2 - 2х1х2, / > 0} U
U {(х, /, -) : х = Х[ + х2 - 2х1х2, 0}, (3.2.58)
XGsl/0,4)(Я (р2; Л(р. ?)) ')(
^vni = {"во): п > 0} U {0}.
(3,2.57)
а) 6(р)^''к^ =
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 225
Согласно формуле (3.1.52), кратности равны
а) dX'*^= 1,
б) йХ"^= "о,
в) Ыи/Ti - No-Коэффициенты Клебша - Гордана равны
(3.2.59)
а) (
рх/т]
рр
!)=
/ рк1 Т1
б> <№'; I*
PtXlPl _ р2Х2р2-
Pl ' Р2
= Usuo, 1) (R (p) р))ц, ц,+ц,+и,И, X
Х^ГЧЖРь А(р, р)Г*)Х
Хи0й$^^(Р2, А (р, д)Г1),
О О
PlXlPi Р2К2Р2\
(3.2.60)
!>=
Р1 Р2Р2
= Usu'p, и (R (а (р) 1 р))ц'ц U°E (2)' *** (R (РГ> (Р> Р)) ) X X Ue\2)2
(R (Рг> (Р> Р)) )ц-Ии
О О О
/рх/т] Р1Х1Р1 Рг^гРгч
в) ( , ; ри ; / =
хрр ^ р,р, р2р2 '
= Usu\i! 1) (/? (Л (р) 1 р))ц'ц t/д и' (/? (рг, ^4(р,Р)) )рр, X
X иРЕ(2) (R (Р2> А (р, р)) )ц-Д, Рг-Матричные элементы группы SU (1, 1)
даны в формуле (2.3.15), группы Е(2) - в формулах (1.4.13) и (2.4.4).
О о л
IX. Pi = n{e{3), р2 = я2е(з). Согласно табл. 3.1, область l2ix имеет вид
Й1Х = {те{о) : т > 0} U {- тещ : т > 0] (J [пе{3): п > 0] (J
uh" + *,)u(-*n-*m)u((r) пр" п^фщ' (3.2.61)
Тогда
О,-
^1,ч./го={(ин Рг):х'=х., - 00 <p, <oo],
^1, иг/г± = {(иг> Нц) • %i = к1> ^ (р* и;/2) /г + хг/2 + 1}
{0} при л, = л2. Gt = SU{l, 1), p< = (x<, lt, Л;),
(1, 2}.
226 м шааф
IX. 1. р <= (те(0): т > 0} (J {-те(0): т > 0}. Здесь G{p) = *=St/(2),
G(p, q) = H1. Мы различаем четыре случая: a) Tii = 0 = Лг, б) щ = 0, rk =
±,
в) Г), = ± = Ла и г) Т]! = ± = -
Подстановка (3.1.43) дает области
а) ЯГ1'*0, *А° = {(х, р) : х = я, + "2-2x^2, - оо < р < оо},
Н*?щ1 = {(й> Р) • х = х,, - оо < р < оо},
б) ЯГЛ0'* = {(х, р): х = X] + х2-2x^2, -оо < р < оо},
Л1.ХЦ =
= {(х, р) : х = х1( ±(р+х1/2)<±(р+х/2)-/2-х2/2-1},
в) Я?,',±,хА± = {(и, р):х = Х!+Х2 - 2Х,Х2, (3.2.62)
± (р х/2) ^ /[ + Xj/2 + /2 "Ь иг/2 + 2},
?ч,1,±, я** = {(-) . - = ^ + щ/2 + J ^
< ± (р + х,/2)< ± (р + х/2) - /2 - х2/2 - 1},
г) ЯГ,г,±' = "х, р) : х = xj+x2-2х!Х2, -оо < р < оо},
т = {(х, р): х = х" ± (р + х,/2) >
> шах (^ + щ/2 + 1, ± (р + х/2) + 12 + х2/2 + 1)}.
Так как во всех случаях
G (°Р)х, ц = SiT(2)", " = "х', /) : х' = х, I > | (р + х)/2 | - х/2},
(3.2.63)
то из формулы (3.1,53) следует
а) '
б) gCp)
г) .
яГ
в) 0(рУ
= {(х, /):х = х! + х2 - 2x^2, />0),
"Л* = {(*', р):х' = х, -/-х<р</}, (3.2.64)
K,/,±,x,l2± _ {(Х) /) : x = Xl х2 - 2x^2, / + х/2 >
/] + Х]/2 + /2 + х2/2 + 2},
?*,г,±.яА± =.{(^ ц) . = х> h + щ12 + 12 + К212+2^
<±(р + х/2)</ + х/2}.
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 227
Согласно формуле (3.1.52), кратности равны
а)
Ы
(3.2.65)
(! Л- v/9 - 1 V. /9 - /" - v J9 - I1V
X (1 "Ь я/2 - /i -Я]/2 -/2 -х2/2).
Коэффициенты Клебша-Гордана имеют вид
б) = No>
г)
в) ^,'±- *'•=*= = ± (/ + х/2 - - х,/2 - /2 - х2/2 - 1) X
/ РЯ/ _ _ PlX^T]! _ p2>Wl2 \ _
Vp" ^ р^ ' р2р2 '
= [/^(2, (tf (Л (р)"1 р)Ц t/Vd',1})1 (tf (Р,; л (р, q))-1)^ X
X t/s)>(lT) (tf(р2; Л (Р, (3.2,66)
где матричные элементы группы SU (2) даны в формуле (2,2.4), а группы
517(1, 1) - в формуле (2,3,15).
О О
IX, 2. р е{"gp): ге > 0}. Здесь G{p) = 517(1, 1); этот случай в свою
очередь делится на два.
О О О
IX. 2], д^ \тв(0): m > 0) Ц {- me(3) : m > 0}. Тогда G{p,q) = = Hi. Здесь
справедлива классификация по четырем вариантам, данная в случае IX. 1;
множества щ"Р1 и ЯР,''ХР1 указаны в формулах (3.2.62). Так как в любом
случае
G(p)x.^ = 5[fc1, 1)х,и =
= {{%', I, 0) : х' = х, 1 = - (1 + х)/2 = гр, р^0} (J и {(я', I, Т]): х'
= х, 0 < / < | р + х/2 | - х/2 - 1,
г] = sign (р -ф- х/2)}, (3.2.67)
то из формулы (3.1.53) следует
аЧ
б) | G (p)x,I,T1" хЛ'1,2 = {(х, /, 0) : х = х: + х2 - 2хь х2,
г) J
/=_(1+х)/2 + /р, p>0}U и {(*, /, +) :х = х1 + х2 - 2х,х2, / >0} (J и {(я,
I, -):х = х1+х2 - 2x^2, / > 0},
P\X.Mi P2X2I2Лг'
228 м. шааф
Hv{?iaa = {(к', д) : х' = х, - оо < д < оо),
= {{к,г ^1х'=х> ± ^ + х/2) > / + х/2 + 1}.
(3.2.6?)
в) д(°р)*'1'±'щи± = {Ы, I, 0):х = х, + х2-2х1х2,
/ = -(1+х)/2 + г>)р>0}и и ((х, /, ±) : х = х1 +х2 -2x^2, />0},
?яА±. яа ± = ^ ^ . к, = к> ± ^ + х/2) ^
^/] + Х]/2 + /2 + х2/2 + 2},
ЯЙ^А± = l(x', |Х) : х' = х, ± (|Х + х/2) >
