Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
± (р -f- х/2) ^ /2 -f- Хг/2 /1 Xj/2 -f- 1},
ЯГ,''^И2'г * = {(х, р) : х = х,, -lt-х,/2 < ± (р + х,/2) < < min(/, +
Xi/2, ± (р+х/2) -/2 -х2/2-1)}.
rjXjj, Х2/з0 Л 1, ХЦ = AXj/j, Х9/2 ±
= {(х, р):х = хь -1\ - х,<р</i},
(3.2.17)
212 М. ШААФ
Так как
G (р)*,ц = SLH2)х, " = {(х', I) : х' = х, / >| р + x/2 I-х/20}, (3.2.18)
то из формулы (3.1.53) получаем
а) G (р)ад'иЛ0 = {(х, /) I х = Х| + х2 - 2х,х2) / 0},
б) G (р)и'г"и,г!± = {(х, /) : х = х, + х2 - 2х|Х2, (3.2.19)
max (0, /2 -+- Хг/2 -/, -Х|/2 + 1)},
а область Д?.''рР! имеет вид
а) = ((х7, р) : х' = х, -/ - х<р</},
б) Н*'к1Щ12± = {(х', р) : х' = х, max (-/ - х/2, (3.2.20)
/2 Хг/2 - /j - Xj/2 -f- 1) ^ ± (р -f- х/2) ^ / -f- х/2}. Согласно формуле
(3.1.52), кратность представления равна
a) = (2/, + х, + 1) (2/ + х + 1),
б) *А±:
(3.2.21)
(2/ -f- х -f- 1) (/] Xj/2 - /2 - х2/2) для x/2 sSj / -f- x/2 /] -f- Xj/2
- /2 - x2/2 - 1,
(/ + x/2 + /, + x,/2 - /2 - x2/2) X
X (/ >t/2 + /j + Xj/2 -12 - x2/2 + 1)
для /j + Xj/2 - Z2 - x2/2 - 1 / + x/2 ^
^J/i + X]/2 + /2 + x2/2 -f- 1,
(2/1 -f- Xj "Ь 1) (/ -}- x/2 - /2 - x2/2) для I -f- x/2 ^ / j -|- Xj/2 -
|- /2 -|- x2/2 -f- 1.
В обоих случаях коэффициенты Клебша - Гордана имеют вид
! pxl
Vp,; ^
PiXi/j p2x2l2r\2
)-
р1Р1 р2р2
= и$и\2) (я(Л (рГ1 <?)),, (Я (р,; Л (р, <?))"%" х
Хи&йМЖРъ А(Р, drVn.i*,' (3.2.22)
причем матричные элементы даны в формуле (2.2.4) для группы SU (2) и в
формуле (2.3.15) - для группы SU (1, 1).
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 213
III. 2. р е {пе(3} : п > 0}. Здесь G^SUi2). G2 = G(p) =
= SU( 1, 1), G (р, q) = Hl. Для класса Pi = (xb 1{) получаем
^i, p,= l(xi' l*i)-xi=xi> к Для представлений группы SU (1, 1) снова
имеем два случая-.
а) р2 = (х2, /2, 0); Ни р == {(х', р2):х'=х2, - оо<р2<оо} для главной и
дополнительной серий и
б) Р2 = ("2. к, ±); fil. Рг = {(х', р2):х' = х,
± (|*2 +4"Х2) г^2 + YX2+ l} для дискретной серии. Подстановка (3.1.43)
дает
а) Hi1'" *Л° = {(х, р) :х = Х! + х2 - 2x^2, -оо < р < оо}, яГ/V2'2° = "й,
р): й = Х" - /, - X, <Р < /,},
б) Я*'*1' щ1г± = {(х, р) : X = X! + Х2 - 2Х|Х2,
± (р + к/2) ^ /2 + к2/2 - /i - >ti/2 + 1},
Яриц^2* = {(х, p):x = xb - /i - х,/2<
^ ± (р + xt/2) ^ min(/i + xj/2, ± (р + х/2) - 12 - х2/2 - 1)}.
Так как
S(pW = stf7i, =
= {(х', /, 0):х' = х, / = - (1 +х)/2 + ip, р> 0} (J U{(x', /, ri) :х' =
х, 0</<|р + х/2| - х/2- 1,
¦П = sign (р +х/2)}, (3.2.24)
то из формулы (3.1.53) получаем в обоих случаях
Q __
= {(х, /, 0) : х = щ + х2 - 2x^2, / = - (1 + х)/2 + ip, р ^ 0} (J
U (Х, /, +) : X = X! + х2 - 2xix2, />0} U
U{(k, /, -) : X = X! + х2 - 2xix2, />0}. (3.2.25)
Здесь дополнительная серия опущена, так как она имеет нулевую меру
Планшереля на группе SU(1, 1). Область Я?,1'рРа
214 М. ШААФ
имеет вид
\ пХ |Л, Щ1'2 0 _
а) л 1, х/л =
j {(и', р): х' = х, - оо < р < оо} при г) = О,
I {("'.li) :х' = х, ri(p + х/2)>/+х/2+1} при ri = ±, 32 2б
<\ H*ih, л2;2±___
О) П1, х!0 =
- {(к', р) ; х' = х, ±(р + х/2)>/2+Х2/2-х,/2+1),
№?'!± = {(x', ц): *е' = *е, ±(р + х/2)>
^ шах (/2 -Ь Х2/2 - /i - х,/2 -Ь 1, / ~Ь x/2 -f- 1)},
//l?- {(Х7, р) • Х/ = X, /2 + X2/2 - /[-Xj/2 + 1 ^
< ± (р + х/2)< - / - х/2 - 1}.
Согласно формуле (3.1.52), кратности представлений равны ' ,Г"*
(3.2.27)
г<\ Л*1'1' 2 2 - _ ik N
о) а х/о = No,
,xL/Lt Х2/2± w #х/ ± == N о,
jXi/u х,/2± _
"Х/ч:------------
~ ~2 (U ~Ь х,/2 - /2 - хг/2 - / - х/2 - 1) (/, -|- Xj/2 - /2 -
Х2/2-
- / - х/2) для х/2 ^ / + х/2 ^ /] + Xi/2-/2- к2/2 - 2.
В обоих случаях коэффициенты Клебша - Гордана имеют вцд
I pxlr\ _ ррцц р2*2'2'Ч2\ "X, 1, Я /Wa / Y1 ч/
( / ; ; ) = и sun. 1)(#(л (р) ?))","
X
'рр
PlUl Р2|^2
X Usu%){R(Pu А (р, ч)Г\и$й№)(Я(Р21 А(р> tfrVn.n,.
(3.2.28)
Матричные элементы группы SU (2) даны в формуле (2.2.4), а элементы
группы SU (1, 1) - в формуле (2.3.15).
О О
IV. р, =/77,6(0), Р2 - - е(0)-б(з). В этом случае, согласно табл. 3.1,
имеем область
Qiv = {me(0) : 0 < т < /л,} (J [пе(3): п > 0} U {е(0) + е(3)}.
(3.2.29)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 216
IV. 1. ре {те(0) '.0<т< т,). При этом G, = G (р) = SU (2),
С О
G2 = E(2), G(p, q) = HЭтот случай совпадает со случаем II, и мы можем
использовать приведенные там результаты.
IV. 2. ре{ле(3):п> 0}. Здесь G, = S?/(2), G2 = ?( 2), G (р°)=
о о л
= St/ (1,1), G(p, q) = Hl. Для класса Pi = (xH /,) имеем Н1р = = {(к',
р,):х} = х|, -^/,}. Для представлений
группы Е (2) различаем два случая: а) р2 = (х2, р0); Н\<Рг = = {(х2) ро)}
для одномерных представлений и б) р2 = (х2, р);
^1,р5 = {(Х2> Р2):к(=Х2, - ОО <р2< оо}
для бесконечномерных представлений. Из подстановки (3.1.43) следует
а) ЯГ1'" *2|i° = {(х, р): х = X) + х2 - 2х!Х2) р0 + х2/2 -
- Xj/2 < р + х/2 < ро + х2/2 + /i + Xi/2},
//"V*" = {(к" Р - Ро - К,х2)}, (3.2.30)
б) Я!4'*'' НгР = {(х, р) : х = х, + х2 - 2х|Х2, - оо < р < оо),
//r,'V2P = {(X, р):х = х" - /, - х, <р</,};
Так как
Giph.^SUb, 1)и." =
= {(х', /, 0) : х' = х, / = - (l+x)/2 + ip, p^0}U
и{(х', /, ri):x' = x, 0</<| р + х/2 I-х/2-1,
