Симметрия в квантовой физике - Мишель Л.
Скачать (прямая ссылка):
^ шах (/ -х/2 -(- 1, /j -f- хj/2 -/2 -(- Хг/2 -(- 2)}.
В любом случае кратность, согласно формуле (3.1.52), равна
йЦ^'^1л= N0. (3.2.69)
Коэффициенты Клебша - Гордана имеют вид
о о о
Р\Щ1\Т\1 Р2^2^2Ц2\
/ рк1г\
V : ^
PIPl ' Р2Д2 ^
= Usu\i." (я(w Л (р, 9))-%^ X X и%\V.7J (tf (р2; А (р, 9))"%-,,
(3.2.70)
Матричные элементы группы SU (1, 1) даны в формуле (2.3.15)
О О О
IX. 22. д {пер) \ п > 0}. Здесь G{p,q) = H2. Для класса Рг= (х;, /г, %)
имеем
Н2¦ V/11; = {№> ^г) • = ^г, Я/ ^ R}> i е (К 2}.
Индексы т принимают значения ±, Подстановка (3.1.43) дает
Я) : X = X] + х2 -2х,х2, - оо < Я < оо}, ^ ^ 7
Н%№^1л={(х,Х):к = щ, -со <К<со].
Очевидно, что
G^ = SU[l, 1)И,А =
= ((х', /, 0): х' = х, / = - (1 + х)/2 + ip, р > 0} U и {(X', /, +): W =
X, / > 0} и 1(х', /, -): х' = х, / > 0}, (3.2.72)
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 229
и потому, согласно формуле (3.1.53),
G (р)*'1'4" щ1Л1 =
= {(х, I, 0) :к = щ +х2 -2x^2, / = -(1 +х)/2 + ip, 0} (J
U {("> К +) : х = х, + х2 - 2x^2, / > 0} (J
U 1(и, I, -) :х = х, +х2 -2x,x2, />0}, (3.2.73)
Яг,'и?п 42,21,2 = {(х' А): х' = х, - оо < А < оо}.
Кратность представления Usu\1% определяется, согласно формуле (3.1.52),
счетной бесконечной размерностью гильбертова
iVlTI " ' "
Риги
^Й'1" 42,21,2 = Ко- (3.2.74)
лИ./.г!..
пространства фи1 '
Коэффициенты Клебша - Гордана равны
/ рх/т] АА 'рт'А'' тт}т'
Р,Х,/1Л|. Р2Х2/2Л2' ^
хя^(1Т)(Я(рь л(Р, р))-1)^ tiMx X^'lii^fcMfp,?))-1^^,^. (3.2.75)
Здесь матричные элементы группы SU (1, 1) в базисе, связанном с
подгруппой Я2, определяются формулами (2.5.74) и (2.5.62), а также
условиями симметрии (2.5.66) и (2.5.72).
3.3. ЗАМЕЧАНИЯ О РЕДУКЦИИ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ Р,
цО. Р, ф ЦР. Рг
Согласно формулам (3.1), (3.4) и (1.1.16), представление U1'2 = U0,p' (r)
ир,р* имеет вид
(Я1-2(Л, a)^)(p) = eip aUPs'U2.c)(A)<8> U^{R(p; Л)) ф(А(Л)-1 р).
(3.3.1)
Далее мы опишем построение, приводящее к редукции представления U1'2.
Однако задачи редукции для унитарных представлений малых групп, которые
при этом появляются, не решены в явном виде. Известная нам литература по
этому вопросу будет указцна.
230 м шааф
о
Пусть р2ф0. Тогда унитарным преобразованием
р, U(p) (3.3.2) aw
представление U1'2 переводится в представление U'1'2, где {U'u 2 (А, а)
фО (р) - (Uu 2 {А, а) Ц>)' (р) =
= elp aUps'u2,c)(R(p-> Л)) (r) Vafp)(R(p-> ^'(ЛИГр). (3.3.3)
которое имеет вид представления группы Р, индуцированного
О
представлением U~Pl j G {р) (r) G {p) = G (p) <D R4 cr
P. К ре-
шению проблемы редукции для представления U1'2 приводит выполнение
следующих этапов.
1. С помощью унитарного преобразования Ар' пространство $?s'l (2, с)
отображается на гильбертово пространство
Ар><2, с) - (r) J V^(P)?p(r) (3.3.4)
О(р)
в котором сужение Uslсг,о \G (р) разлагается в прямой инте-
О
грал от унитарных представлений группы G (р), входящих с кратностями,
которые определяются размерностью пространства ?>р'.
Лр'Н&(2,о|0(р)[ЛР']-1=е J ??ДР1(р)(1фр1 (r) [/р(р0)). (3.3.5)
О(р)
л О
Мера Др, на множестве G (р) классов эквивалентности непри-
О
водимых унитарных представлений группы G (р) единственна с точностью до
преобразования эквивалентности. Далее гильбертово пространство
ЛР^(2,С)(r)ФР> = о (р)
(3.3.6)
посредством преобразования
(r) К ^
G (р)
О (Р)
1> (р) = (ирй <2, о {А (рГ1) (r) 1$
РЕДУКЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ .231 унитарно
отображается на гильбертово пространство
$'¦ 2 = 0 J Vdpр,(р) (ФРР' (r) Фр (о} (r) (3.3.8)
О(р)
(см. в связи с этим книгу Диксмийе [30]). При этом представление U'1'2,
заданное формулой (3.3.3), переходит в представление
(?/*•2 (Л, а) ф) (р) = (?/*•2 (А- а) ф)~ (р) =
= eip-a0 J dpPl (р)[1фр. (r) Яр0(о} (/? (р; Л)) (r)
О(Р)
(r)^(Р°)(№ Л))]^(А(л)-1/°)- (3.3.9)
2. Посредством унитарного преобразования АРРг произведе-ние
отображается на гильбертово пространство
J (3.3.10)
3(р)
в котором произведение представлений t/p ^ <8> nP'(°} разлагается в
прямой интеграл неприводимых унитарных представлений Up о
О
группы G(p), каждое из которых входит с кратностью, заданной размерностью
пространства фрРг:
(c) J djipp2(p')(V>P2(r) U* А (3.3.11)
3(й Р
л о
Мера црр, на множестве G (р) вновь определена однозначно с точностью до
эквивалентности. Поэтому с помощью преобразования
(c) J dpPl(p)(l*P,(r) ^РРг)
G(P)
гильбертово пространство |>1,2 в формуле (3.3.8) унитарно ото-(бражается
на гильбертово пространство вида
Ф''2=(r) J К#^(Р)(c) J ^РР1(р')(Ф2'(r)ФГ(r) ^(о>)- (3.3.12) о(й а&\
232 М- ШААФ
Переводя представление U1,2 в формуле (3.3.9) в пространство §1,2,
получаем
(0й 2(А, а) ф) (р) - {и1'2 (А, а) ф)А (р) =
= е'Р'а(r) J dpP,(p)(r) J ^ДррЛрОХ
Л О Л о
Gip' О [р)
х[¦*"'""¦;?¦ (r) ио&^ Л))]'Кл(л)-'р) =
*=0 J ^p,(p)0 J <Ф"",(Р')Х
dip) a ip)
X [(Iep,eepp,(r) а))ф] (Р). (3.3.13)
Иными словами, в пространстве fi1,2 представление С/1,2 группы Р
разлагается в прямой интеграл от неприводимых унитар-
О
ных представлений Up,p' этой группы.
